2013年5月23日木曜日

定義と定理

高校の教科書では定義と定理が混在するのはふつうのコト.
で,ちょっと分けてみた.

実数aに対して,2乗(平方)して a になる数を a の平方根という.(定義)
(i) a>0 のとき
a の平方根は正と負の2つあり(定理),正の方を√a,負の方を-√a と表す.(定義)
(ii) a=0 のとき,a の平方根は0のみである(定理).すなわち√0=0 (定義)
(iii) a<0 のとき,a の平方根は実数の範囲には存在しない(定理).どのような実数も2乗すると0以上になる(定理)からである.

実習生へ質問.
1「√(-3) が許されぬ理由は」
2「a>0 のとき a の平方根の存在を保証するポピュラーな定理は何か.」
3「a>0 のとき a の正の平方根が存在するが,それが唯一つであることを証明せよ.」

唯一つだから,√a という記号が導入される.

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