2013年1月31日木曜日

sine の形

ラジアン(π=180度)をやると,πが角度の単位のように見えてくる.πは単位ではなく,円周率 3.14159である.
だから,グラフの目盛りを書くときは,
「π/2 = 1.6(90度)」
のように書くようにしている.

y=sinθのグラフ.

半周π=3.14(180度),1周2π=6.3(360度) になるようにグラフを描くとこうなる.
y=1 になるのは π/2 = 1.6(90度),y=-1 になるのは 3π/2 = 4.7 (270度)

すると,ラジアンの定義を忘れた生徒が
「どうして 1.6 が90度?」
と聞いてくる.
「一周が2πrだから,一周の角を2πにした.半周でπ=3.14,90度でπ/2=1.6」
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でも,3.14 とか 1.6 を目盛りにとるのがめんどうなので,
「πは3に近いから1の目盛り3個分でいい」
ということにする.
下の図.
5%ほど横に縮む形になる.
つまり目盛1個分で π/3=1.04(60度)となる.

形的にはほぼ同じ形になる.
実際,5%ほど拡大して,2πの横幅を同じにすると,ならべただけだと,違いがわからない.
もちろん,下の図は縦にも5%ほど伸びている.

重ねてみると,鉛筆の太さ分くらいの差がある.
手書きなら,これくらいで十分正確といえるだろうから,
「横軸の3目盛分をπにするとよい.」(昔話題になった「円周率はほぼ3」)


度数法(一周360度)のときは,角度1度をよもや目盛1つ分に取ると横に長くなりすぎるから適当に縮めなければならない.ではどれくらい縮めるかということにになる.
ラジアンで一周を 6.28 (2π) にとると,美しくかける.昔,「sine のgraph を美しく描け」というテストをしたことがあった.>以前の記事

π=3.14 の長さを正確に書くと sine の形は次の通り.
原点での接線の傾きは 1.つまり正方形の対角線,y=x が接線.
原点付近では,正方形の対角線を引くつもりでよいともいえる.実際0.5(π/6=30度)まで気持ちは直線である.

さらに,π/2=1.57 までの色を付けた部分の面積が 1.つまり正方形の面積と同じだけど,グラフを書くにはあんまり関係ないかな.

これを専門用語で,
「x=0 の 微分係数は1」
「区間 0 から π/2 の積分は 1」
という.

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