2013年1月23日水曜日

頭の体操

知り合いのサイトに中学受験の問題が出ていたので,頭の体操.>JH2CMHのWeblog

斜線部分HIJKの面積は正方形ABCDの何倍かを求める問題

とりあえず数字を知りたくて,H,I,J,K の位置を力ずくで求めて,面積計算.
H,K は AC を3等分しているから簡単.
I の底辺からの縦位置は,正方形の辺の長さの0.4倍,左の辺から横位置は同じく 0.2倍となった.
J の位置は,直角三角形IEB と 直角三角形JFC が合同であることから決まり,そこから力ずくで計算して数字を知った.

これを小学校算数でできるように考えるのがパズル的で楽しい.
決め手は,直角三角形IEB の直角三角形BEC に対する面積比が \(\frac{1}{5}\) に気づくことである.
直角三角形BEC が2つの直角三角形に2分割されていて,それらが全部相似であることからEI:IB = BI:IC = EB:BC より EI:IC の長さの比がわかり,面積比が計算できる.
あとは,パズルである.

三角形 ABC は正方形の半分.
三角形 HBC は三角形 ABC の 2/3\(\frac{2}{3}\)
三角形 FKC は三角形 BHC の 1/4\(\frac{1}{4}\)

三角形 IBE は三角形 BEC の 1/5\(\frac{1}{5}\)
三角形 IBC は三角形 BEC の 4/5\(\frac{4}{5}\)
三角形 JFC は三角形 IBE と合同

くらいわかれば十分かな.


次は,四角形ABCDの面積が64平方センチメートルのとき、ABの長さを求める.

とりあえず,「これくらいだろう」適当に整数を当てはめて計算したらビンゴ.
そうなるようにまずは最初は力ずくで求めた.

Dを通り,底辺に平行な直線を上辺とする,長方形PBCQ を考えた.
直角三角形APD と直角三角形DQC は合同.
\(\mathrm{AB}=x\),\(\mathrm{AP}=y\) とすれば,D の高さが \(x+y\),\(\mathrm{BC}=10\mathrm{cm}\) が \(x+y+y\).
あとはそれぞれ面積を文字で表して,\(=64\) なわけだけど,そんな文字計算は小学校算数ではない.

直角三角形APD と直角三角形DQC は合同であることを使う.
Dから BC に下ろした垂線の足を H とすれば,直角三角形DHC を切り取って斜辺を AD に合わせれば,なんと正方形が完成!
それに気づけば,\(8\times8=64\) から一発解決.

算数って楽しいなー

で,今日,ちょっと時間の余ったクラスで,「小学校算数だぞ」といって出題(笑

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