2012年12月6日木曜日

三角関数の合成

生徒からの質問.解答例にある式変形.
(3+\sqrt{3})\sin\theta+(1+\sqrt{3})\cos\theta
みたいな式が,ひとつの sin になっていた.合成がわからないという.

地道にやるだけだなぁ.

もともと,合成は,
a\sin\theta+b\cos\theta=r\sin(\theta+\alpha)
となる r と α をうまく見つけることにある.
ここで,
r=\sqrt{a^2+b^2}\cos\alpha=\frac{a}{r}\sin\alpha=\frac{b}{r}
なら,加法定理で一つの sin になるわけだ.


a^2=(3+\sqrt{3})^2=12+6\sqrt{3}b^2=(1+\sqrt{3})^2=4+2\sqrt{3}
より,
r^2=a^2+b^2=16+8\sqrt{3}

したがって,
r=\sqrt{16+8\sqrt{3}}=\sqrt{4(4+2\sqrt{3})}=2\sqrt{4+2\sqrt{3}}
この二重根号がわからなかったようだ.これは b^2 の計算に出ている.つまり,
2\sqrt{4+2\sqrt{3}}=2\sqrt{b^2}=2|b|=2(1+\sqrt{3})
である.

もちろん,b^2 に気づかなくても,簡単に二重根号は外れる.
\sqrt{4+2\sqrt{3}}=\sqrt{1+2\sqrt{3}+3}=\sqrt{1^2+2\cdot1\cdot\sqrt{3}+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{(1+\sqrt{3})^2}=1+\sqrt{3}

r=2(1+\sqrt{3})

\frac{a}{r}=\frac{3+\sqrt{3}}{2(1+\sqrt{3})}=\frac{\sqrt{3}}{2}から,\cos\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}

\frac{b}{r}=\frac{1+\sqrt{3}}{2(1+\sqrt{3})}=\frac{1}{2}から,\sin\alpha=\frac{1}{2}

これらから,\alpha=30^\circ

(3+\sqrt{3})\sin\theta+(1+\sqrt{3})\cos\theta\\=2(1+\sqrt{3})(\sin\theta\times\frac{\sqrt{3}}{2}+\cos\theta\times\frac{1}{2})\\=2(1+\sqrt{3})(\sin\theta\cos30^\circ+\cos\theta\sin30^\circ)\\=2(1+\sqrt{3})\sin(\theta+30^\circ)

黒板でやったときは,もっと簡潔に書いたのだけれど,記事にするとどうしても冗長になるなぁ.

実は,
(3+\sqrt{3})\sin\theta+(1+\sqrt{3})\cos\theta\\=\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)\sin\theta+(1+\sqrt{3})\cos\theta\\=(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}\sin\theta+\cos\theta)\\=2(\sqrt{3}+1)(\sin\theta\times\frac{\sqrt{3}}{2}+\cos\theta\times\frac{1}{2})\\=2(\sqrt{3}+1)(\sin\theta\cos{30^\circ}+\cos\theta\sin{30^\circ})\\=2(\sqrt{3}+1)\sin(\theta+30^\circ)
さくっとね.

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