くろべえ: 慣れていない

数学III の授業をやっていて気付くこと．生徒は，極限の考え方に慣れていない．
$\frac{1}{n}$ の極限を即答できなかったりする．
数列 1, $\frac{1}{2},\frac{1}{3},\cdots$ は調和数列harmonic sequenceともいう．弦を，調和数列の長さの場所で押さえると，響きが安定することに由来しているのかな．

$\frac{2n+1}{n+1}$ の分子分母を n で割って， $\frac{2+\frac{1}{n}}{1+\frac{1}{n}}$ の極限 2
「計算はできる．が，何をやっているのかさっぱり・・・」
という．
たしかに，今までの数学には出てこなかった考え方だろう．自分は慣れているけれど，なんだか高校生の頃の感覚を思い出した．自分も何が何だかわからずにやっていたのだろうなー

だから，数値計算を見せて，実感してもらって，
「いま何の計算してるの」
を感じてもらう．
授業を受けるのは「理系」の生徒．大半は工学系に進むから，「数値の感覚」を身につけてほしい．

n	$\frac{1}{n}$
1	1
2	0.5
3	0.333333333
4	0.25
5	0.2
6	0.166666667
7	0.142857143
8	0.125
9	0.111111111
10	0.1
100	0.01
1000	0.001
10000	0.0001

$\frac{1}{n}\to0$

n	$\frac{2n+1}{n+1}$
1	0.5
2	1
3	1.25
4	1.4
5	1.5
6	1.571428571
7	1.625
8	1.666666667
9	1.7
10	1.727272727
100	1.97029703
1000	1.997002997
10000	1.99970003

$\frac{2n+1}{n+1}\to2$

n	$0.5^{n-1}$
1	1
2	0.5
3	0.25
4	0.125
5	0.0625
6	0.03125
7	0.015625
8	0.0078125
9	0.00390625
10	0.001953125

$0.5^{n-1}\to0$
こうして並べると，即答できなかった子も，すぐにわかってくれる．

ところが，並べてもなんだか分からないものがある．

n	$\sum_{n=1}^{\infty}0.999^n$
1	0.999
2	1.997001
3	2.994003999
4	3.990009995
5	4.985019985
6	5.979034965
7	6.97205593
8	7.964083874
9	8.95511979
10	9.94516467
100	95.11264503
1000	631.6722707

でかくなるのはわかるけど，収束する？
そうなると，やはり計算（推論）の力が必要となる．
等比級数の和(極限)は公式より
$\frac{a}{1-r}=\frac{0.999}{1-0.999}=999$

1分で全部の数を数える方法．
30秒かけて「一」
15秒かけて「二」
7.5秒かけて「三」
3.75秒かけて「四」
1.875秒かけて「五」
・・・
かかる時間は，初項30，公比0.5より和は
$\frac{30}{1-0.5}=60$ 秒
「後ろの方はちょっと早口になるよ」

見ても分からないから，推論の力が必要な極限の例．

n	$\frac{1}{n}$	$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$
1	1.000	1.000
2	0.500	1.500
3	0.333	1.833
4	0.250	2.083
5	0.200	2.283
6	0.167	2.450
7	0.143	2.593
8	0.125	2.718
9	0.111	2.829
10	0.100	2.929
100	0.010	5.187
1000	0.001	7.485

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ はさっぱり増えないけれど，∞に発散することで有名．

2学期後半に扱う予定の教科書の積分の応用のページ例題に
$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\gt\log(n+1)$
の証明が出ている．
log は無限に大きくなるから，それより大きいΣ1/nは発散する．
（積分を使わない，易しい証明もあるが）

60秒かけて「一」
30秒かけて「二」
20秒かけて「三」
15秒かけて「四」
12秒かけて「五」
・・・
だと，どんどん早口になるけど，一生かけても数え終わらない．

ここから先は，余計な話（これが好き♪）＞sin の因数分解
$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots$
はそんなわけで無限に発散するけど，

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\cdots=\frac{\pi^2}{6}$

ついでに， $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ について，
初項は1
第2項までは $1+\frac{1}{2}$
第3項を得るには，
$(1+\frac{1}{2})(1+\frac{1}{3})=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}$
以下，同様に必要な項に必要な積を作って
$(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4})(1+\frac{1}{3})=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}$

$(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4})(1+\frac{1}{3})=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}$

$(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4})(1+\frac{1}{3})(1+\frac{1}{5})=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{10}+\cdots$

$(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4})(1+\frac{1}{3})(1+\frac{1}{5})(1+\frac{1}{7})=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\cdots$

最終的には，
$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots\\=(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots)(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\cdots)(1+\frac{1}{5}+\frac{1}{25}+\cdots)(1+\frac{1}{7}+\frac{1}{49}+\cdots)$
一つ一つの括弧の中身は等比級数だから公式で，
$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots\\=(\frac{1}{1-\frac{1}{2}})(\frac{1}{1-\frac{1}{3}})(\frac{1}{1-\frac{1}{5}})(\frac{1}{1-\frac{1}{7}})\cdots$
と素数が並ぶ． $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots$ は素数と非常に関係が深くて，1年の情報でやった暗号技術の安全性にかかわっている．＞公開鍵暗号(RSA)をわかる

同じように，
$1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\cdots\\=(\frac{1}{1-\frac{1}{2^2}})(\frac{1}{1-\frac{1}{3^2}})(\frac{1}{1-\frac{1}{5^2}})(\frac{1}{1-\frac{1}{7^2}})\cdots=\frac{\pi^2}{6}$

ついでに，
$\zeta(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^x}$ って関数があって，
$\zeta(1)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ は発散するけど，
$\zeta(2)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$ という値を持つ・・・ごめん，やめやめ．
じゃ，次に進みます．（調子に乗りすぎ）

ζ(s)=0 になる自明でない解 s の実部はどれも 0.5 だというのが有名なリーマン予想．

2012年5月2日水曜日

慣れていない

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