数学III の授業をやっていて気付くこと.生徒は,極限の考え方に慣れていない.
数列 1,
「計算はできる.が,何をやっているのかさっぱり・・・」
という.
たしかに,今までの数学には出てこなかった考え方だろう.自分は慣れているけれど,なんだか高校生の頃の感覚を思い出した.自分も何が何だかわからずにやっていたのだろうなー
だから,数値計算を見せて,実感してもらって,
「いま何の計算してるの」
を感じてもらう.
授業を受けるのは「理系」の生徒.大半は工学系に進むから,「数値の感覚」を身につけてほしい.
n | |
1 | 1 |
2 | 0.5 |
3 | 0.333333333 |
4 | 0.25 |
5 | 0.2 |
6 | 0.166666667 |
7 | 0.142857143 |
8 | 0.125 |
9 | 0.111111111 |
10 | 0.1 |
100 | 0.01 |
1000 | 0.001 |
10000 | 0.0001 |
n | |
1 | 0.5 |
2 | 1 |
3 | 1.25 |
4 | 1.4 |
5 | 1.5 |
6 | 1.571428571 |
7 | 1.625 |
8 | 1.666666667 |
9 | 1.7 |
10 | 1.727272727 |
100 | 1.97029703 |
1000 | 1.997002997 |
10000 | 1.99970003 |
n | |
1 | 1 |
2 | 0.5 |
3 | 0.25 |
4 | 0.125 |
5 | 0.0625 |
6 | 0.03125 |
7 | 0.015625 |
8 | 0.0078125 |
9 | 0.00390625 |
10 | 0.001953125 |
こうして並べると,即答できなかった子も,すぐにわかってくれる.
ところが,並べてもなんだか分からないものがある.
n | |
1 | 0.999 |
2 | 1.997001 |
3 | 2.994003999 |
4 | 3.990009995 |
5 | 4.985019985 |
6 | 5.979034965 |
7 | 6.97205593 |
8 | 7.964083874 |
9 | 8.95511979 |
10 | 9.94516467 |
100 | 95.11264503 |
1000 | 631.6722707 |
そうなると,やはり計算(推論)の力が必要となる.
等比級数の和(極限)は公式より
1分で全部の数を数える方法.
30秒かけて「一」
15秒かけて「二」
7.5秒かけて「三」
3.75秒かけて「四」
1.875秒かけて「五」
・・・
かかる時間は,初項30,公比0.5より和は
「後ろの方はちょっと早口になるよ」
見ても分からないから,推論の力が必要な極限の例.
n | ||
1 | 1.000 | 1.000 |
2 | 0.500 | 1.500 |
3 | 0.333 | 1.833 |
4 | 0.250 | 2.083 |
5 | 0.200 | 2.283 |
6 | 0.167 | 2.450 |
7 | 0.143 | 2.593 |
8 | 0.125 | 2.718 |
9 | 0.111 | 2.829 |
10 | 0.100 | 2.929 |
100 | 0.010 | 5.187 |
1000 | 0.001 | 7.485 |
2学期後半に扱う予定の教科書の積分の応用のページ例題に
の証明が出ている.
log は無限に大きくなるから,それより大きいΣ1/nは発散する.
(積分を使わない,易しい証明もあるが)
60秒かけて「一」
30秒かけて「二」
20秒かけて「三」
15秒かけて「四」
12秒かけて「五」
・・・
だと,どんどん早口になるけど,一生かけても数え終わらない.
ここから先は,余計な話(これが好き♪)>sin の因数分解
はそんなわけで無限に発散するけど,
ついでに,
初項は1
第2項までは
第3項を得るには,
以下,同様に必要な項に必要な積を作って
最終的には,
一つ一つの括弧の中身は等比級数だから公式で,
と素数が並ぶ.
同じように,
ついでに,
じゃ,次に進みます.(調子に乗りすぎ)
ζ(s)=0 になる自明でない解 s の実部はどれも 0.5 だというのが有名なリーマン予想.
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