2011年12月8日木曜日

微分か判別式か

数学の試験監督で,暇つぶしに解答.
2年生の微分のテスト.
「放物線 y=x^2+3x に,(2,\ 1) から引いた接線を求めよ.」
という問題.
微分のテストなので,解答は次の通り.

(解1)
接点を (a,\ a^2+3a) とすると,y'=2x+3 より,接線の傾き 2a+3 であるから接線は
y-(a^2+3a)=(2a+3)(x-a)
これが点(2, 1) を通るから
1-(a^2+3a)=(2a+3)(2-a)
a^2-4a-5=0
(a+1)(a-5)=0
a=-1,\ a=5
a=-1 のとき接点 (-1,\ -2),傾き 1 より 接線は
y-(-2)=(x-(-1))
y=x-1
a=5 のとき接点 (5, 40),傾き 13 より 接線は
y-40=13(x-5)
y=13x-25

でも,数字がでかくて途中でどうも暗算では面倒になり,共有点の判別式に形で解いてみた.

(解2)
(2, 1)を通り傾き m の直線は
y-1=m(x-2)
これと,放物線 y=x^2+3x との共有点の x 座標は
(x^2+3x)-1=m(x-2)
x^2+(3-m)x+2m-1=0
の解で,共有点が接線のときは重解になるから判別式が 0.
(3-m)^2-4(2m-1)=0
m^2-14m+13=0
(m-1)(m-13)=0
m=1,\ m=13
m=1 のとき接線は
y-1=1(x-2)
y=x-1
m=13 のとき接線は
y-1=13(x-2)
y=13x-25

書いてみると,あんまりかわらないな.暗算だと判別式の方が楽なような気がしたけれど.

1 件のコメント:

  1. http://kurobe3463.blogspot.com/2011/12/differentiation-or-discriminant.html#more
    なる これ以上 易しい 例 は ない 問題を 2つの発想で 解かれているのを
                 視て 飯高先生は 
    http://userdisk.webry.biglobe.ne.jp/020/691/47/N000/000/001/131560676679213226581.gif
        の 出来がよくなかった にも かかわらず もう卒業してしまった 學生に
         次のように 設問すれば 何が 不理解 なのか 判別 できたのに と;
             高校で 履修済の問題で 失礼を承知の上で 問います;

    C; -x^2 - 3*x + y = 0 の 双対曲線 C^* を 先ず Cを 射影化をし
           講義で 丁寧に 論じた発想で 求めなさい。

    もし その講義を 聴いていなかったなら 無論 貴方独自の発想で C^* ; f^*[X,Y]=0 を 求めなさい。

    -----------------------------------------------------------------------------------------------
    そこで  これ以上 易しい 例 は ない あの 高校生が 最初に解く 問題を
    f^*[X,Y]=0 , X*x + Y*y + 1 =0 に (x,y)=(2,1) を 代入すると 満たす ことから
    (X,Y)を 求め, X*x + Y*y + 1 =0 に 代入すれば 瞬時に 2接線が 獲られる。
          此れを 具現 しなさい(為せば くろべえ先生がひまつぶしに 明示されている 答えと合う)

    飯高先生 は 上の如く 設問 して も 無解答 の 事態が 生じそうで 
    次に 打つ手 は 難だ なぁ と 苦慮 されて おられる 予感 在り....

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