2011年11月10日木曜日

アルキメデス

すイエんサー の中の5分アニメ,マリー&ガリー.今回は,アルキメデス.
そこで出てきた彼の業績が3つ.

てこ,アルキメデススクリュー,円周率.

円周率は数学としても,やはり物理的なもののほうが多いな.
たとえば,アルキメデスの原理といえば,普通は浮体の原理だろう.つまり,風呂にざぶっと入って,ひらめいて,「エウレーカ!」とストリーキングした原理.

ガリーが「数学者だろ!」って突っ込みいれてたけれど,アルキメデスは数学者.

数学の本でアルキメデスの原理と言ったら,浮体の原理ではなく,
どんな正の数a, b をとっても,na>b となる自然数 n が存在する.

あたりまえだが,アルキメデスは,この命題を球の体積や表面積を求める際の議論の出発点とした.
この命題は,実数論では,連続の公理など(上に有界な集合は上限を持つ)から証明はできる.

まぁ,言っていることは,数列 na には上界がないことだから,
lim na = ∞
と同値である.

a=1 なら
lim n = ∞
なので,それとも同値で,lim (1/n) =0 とも同値.

実数(順序体)で,これを取り上げる理由は,順序体の中には,これが成り立たないものを作ることができるからではある.
実数ではいつも成り立つから,実数がひとつながりであることがわかる.


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