2011年8月26日金曜日

Napierネイピア数がらみ

\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e を使った極限の問題.

h=1/n とすれば,n→∞のとき h→0 で,\lim_{h\to0}\left(1+h\right)^{\frac{1}{h}}=e でもある.
(本当はこの置き換えは n→∞のとき h→+0,つまり h>0 のときに限ったものだが,h→0 でも成り立つことは省略.)

符号を変えると
\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)^n=\frac{1}{e} となる.
これは h=1/(-n) とおけば n=-1/h で,n→∞のとき h→0 より,
\lim_{h\to0}\left(1-\frac{1}{n}\right)^n 
= \lim_{h\to0}\left(1+h\right)^{-\frac{1}{h}} 
= \lim_{h\to0}\frac{1}{\left(1+h\right)^{\frac{1}{h}} }
= \frac{1}{\lim_{h\to0}\left(1+h\right)^{\frac{1}{h}} }=\frac{1}{e}
という感じである.

\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{\sqrt{n}}\right)^n\left(1+\frac{1}{\sqrt{n}}\right)^n=\frac{1}{e} も展開すれば,上と同じになるから,どうということはない.

\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{2}{\sqrt{n}}\right)^{n}\left(1+\frac{1}{2\sqrt{n}}\right)^{4n}=e^{-\frac{5}{2}} くらいになると,l'Hospital の方法でやるくらいしか思いつかない.なんとか,上記のような式のいじくりまわしで出来ないものか.

いちおう,お手軽 l'Hospital の方法なら,次の通り.
\frac{1}{\sqrt{n}}=hと置けば,n=\frac{1}{h^2} で,n→∞のとき,h→0
\left(1-\frac{2}{\sqrt{n}}\right)^n\left(1+\frac{1}{2\sqrt{n}}\right)^{4n} = (1-2h)^{\frac{1}{h^2}}\left(1+\frac{h}{2}\right)^{\frac{4}{h^2}}


対数を取ると,
\log(1-2h)^{\frac{1}{h^2}}\left(1+\frac{h}{2}\right)^{\frac{4}{h^2}
=\frac{1}{h^2}\log(1-2h)+\frac{4}{h^2}\log\left(1+\frac{h}{2}\right)
=\frac{\log(1-2h)+4\log\left(1+\frac{h}{2}\right)}{h^2}


h→0 のとき,\log(1-2h)\to0\log\left(1+\frac{h}{2}\right)\to0,h^2→0 より,不定形の極限だからl'Hospital の方法が使える.

分子分母それぞれ h で微分する.
(\log(1-2h))'=\frac{-2}{1-2h}\left(4\log\left(1+\frac{h}{2}\right)\right)'=4\times\frac{\frac{1}{2}}{1+\frac{h}{2}}=\frac{4}{2+h}(h^2)'=2h
したがって,
\lim_{h\to0}\frac{\log(1-2h)+4\log\left(1+\frac{h}{2}\right)}{h^2}
=\lim_{h\to0}\frac{\frac{-2}{1-2h}+\frac{4}{2+h}}{2h}
右辺は,
\frac{\frac{-2}{1-2h}+\frac{4}{2+h}}{2h}\\
=\frac{-1}{(1-2h)h}+\frac{2}{(2+h)h}\\
=\frac{-(2+h)+2(1-2h)}{(1-2h)(2+h)h}\\
=\frac{-5h}{(1-2h)(2+h)h}\\
=\frac{-5}{(1-2h)(2+h)}\\
\to\frac{-5}{(1-0)(2+0)}=\frac{-5}{2}
から,
\log(1-2h)^{\frac{1}{h^2}}\left(1+\frac{h}{2}\right)^{\frac{4}{h^2}}\to\frac{-5}{2}
対数関数は連続だから,
\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{2}{\sqrt{n}}\right)^{n}\left(1+\frac{1}{2\sqrt{n}}\right)^{4n}=e^{-\frac{5}{2}}

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