2011年6月30日木曜日

フィボナッチ数の比

葉っぱの枚数や,螺旋の本数など自然界にたくさん出てくる数列>以前の記事
1,1,2,3,5,8,13,21,34,・・・
ネットで検索すれば,自然界のフィボナッチ数列が山のように出てくる.

この極限はもちろん正の無限大に発散するが,隣り合う項の比
 1/1=1
 2/1=2
 3/2=1.5
 5/3=1.666
 8/5=1.6
 13/8=1.625
 21/34=1.619
は,大きくなったり小さくなったりしながら,黄金比
 (1+√5)/2 = 1.61803399
に限りなく近づく.

Fibonacci 数列f(n)の定義は,
 f(1)=1,f(2)=1,f(n+2)=f(n+1) + f(n)
である.
 1+1=2
 1+2=3
 2+3=5
 3+5=8

このとき,
 x=lim(f(n+1)/f(n))
の極限を求める.
 f(n+1)=f(n)+f(n-1)
を代入すると,
 x=lim(f(n+1)/f(n))
 =lim((f(n)+f(n-1))/f(n))
 =lim(f(n)/f(n)+f(n-1)/f(n))
 =lim(1+f(n-1)/f(n))
 =1+lim(1/(f(n)/f(n-1)))
 =1+1/lim(f(n)/f(n-1))
lim(f(n)/f(n-1) = x より,
 x=lim(f(n+1)/f(n))
 =1+(1/lim(f(n)/f(n-1)))
 =1+(1/x)
x=1+1/x の両辺を x 倍して,
 x^2=x+1
 x^2-x-1=0
 x=(1±√5)/2
x>0 で,
 x=(1+√5)/2

自然界の2つの整数比は,黄金比に近づこうとして,隣り合うフィボナッチ数になることが多いらしい.
黄金比は正5角形にたくさん出てくる.

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