2011年5月31日火曜日

複素数の双曲線関数

sinh(1+2i) の実部と虚部.

まず定義 \sinh{x}=\frac{1}{2}(e^x-e^{-x}) より,
sinh{(1+2i)}=\frac{1}{2}(e^{1+2i}-e^{-(1+2i)})
指数法則 e^{a+b}=e^ae^b より,
=\frac{1}{2}({e^1}e^{2i}-e^{-1}e^{-2i})
オイラーの関係式e^{ix}=\cos{x}+i\sin{x}より,
=\frac{1}{2}({e^1}(\cos2+i\sin2) + e^{-1}(\cos(-2)+i\sin(-2)))
三角関数の公式,sin(-x)=-sin(x).cos(-x)=cos(x)
=\frac{1}{2}({e^1}(\cos2+i\sin2) + e^{-1}(\cos2-i\sin2))
展開して,
=\frac{1}{2}({e^1}\cos2+i{e^1}\sin2+e^{-1}\cos2-ie^{-1}\sin2)
実部と虚部に分ける.
=\frac{1}{2}({e^1}\cos2+e^{-1}\cos2+i{e^1}\sin2-ie^{-1}\sin2)
それぞれくくりだす.
=\frac{1}{2}(({e^1}+e^{-1})\cos2+i({e^1}-e^{-1})\sin2)
=\frac{1}{2}({e^1}+e^{-1})\cos2)+i\frac{1}{2}({e^1}-e^{-1})\sin2)
定義 \sinh{x}=\frac{1}{2}(e^x-e^{-x}) \cosh{x}=\frac{1}{2}(e^x+e^{-x}) より,
=\cosh1\cos2+i\sinh1\sin2
Wolfram Alpha (Alternate form: cos(2) sinh(1)+i sin(2) cosh(1))

2 件のコメント:

  1. くくった最初は無しかも

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  2. VY TNX
    parenthesis の数が合ってませんでしたね.

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