2010年10月24日日曜日

合成関数の微分,逆関数の微分.

y=\log(x+\sqrt{x^2+1})
の微分.


(1) 普通に合成関数の微分.
y' = \frac{(x+\sqrt{x^2+1})'}{x+\sqrt{x^2+1}} \\ \hspace{20}
= \frac{1+(\sqrt{x^2+1})'}{x+\sqrt{x^2+1}} \\ \hspace{20}
= \frac{1 + \frac{(x^2+1)'}{2\sqrt{x^2+1}}}{x+\sqrt{x^2+1}} \\ \hspace{20}
= \frac{1 + \frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}}{x+\sqrt{x^2+1}} \\ \hspace{20}
= \frac{1 + \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}{x+\sqrt{x^2+1}} \\ \hspace{20}
= \frac{\sqrt{x^2+1}(1 + \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}) }{ \sqrt{x^2+1}(x+\sqrt{x^2+1})} \\ \hspace{20}
= \frac{\sqrt{x^2+1} + x}{\sqrt{x^2+1}(x+\sqrt{x^2+1})} \\ \hspace{20}
= \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}


(2) 逆関数を使って微分.
y=\log(x+\sqrt{x^2+1})
を x について解く.log の定義より,
e^y = x+\sqrt{x^2+1}
e^y - x = \sqrt{x^2+1}
両辺2乗で,ルートをとる.
(e^y - x)^2 = x^2+1
e^{2y} - 2xe^y +x^2 = x^2+1
e^{2y} - 2xe^y = 1
- 2xe^y = 1 - e^{2y}
2xe^y = -1 + e^{2y}
2x = (e^{2y}-1) e^{-y} = e^y-e^{-y}
x=\frac{e^y -e^{-y} }{2}
(これは双曲三角関数 sinh)


したがって,
\frac{dx}{dy} = \frac{e^y -(-e^{-y}) }{2} = \frac{e^y +e^{-y} }{2}

よって,
\frac{dy}{dx} 
=\frac{1}{(\frac{dx}{dy})}\\ \hspace{20}
=\frac{1}{(\frac{e^y +e^{-y} }{2})}\\ \hspace{20}
=\frac{2}{e^y +e^{-y}}\\ \hspace{20}
=\frac{2e^y}{e^{2y} +1}

e^y = x+\sqrt{x^2+1}
だったので,
e^{2y}+1 = (e^y)^2+1 = (x+\sqrt{x^2+1})^2+1 \\ \hspace{20}
=  x^2 + 2x\sqrt{x^2+1} + (x^2+1)+1 \\ \hspace{20}
=2x^2 + 2x\sqrt{x^2+1} +2 \\ \hspace{20}
=2(x^2 + x\sqrt{x^2+1}+1) \\ \hspace{20}
=2((x^2+1) + x\sqrt{x^2+1}) \\ \hspace{20}
=2((\sqrt{x^2+1})^2 + x\sqrt{x^2+1}) \\ \hspace{20}
=2\sqrt{x^2+1}(\sqrt{x^2+1} + x)

となり,
\frac{dy}{dx} = \frac{2e^y}{e^{2y}+1} \\ \hspace{20}
=\frac{2(x+\sqrt{x^2+1})}{2\sqrt{x^2+1}(\sqrt{x^2+1} + x)} \\ \hspace{20}
=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}

どっちが,簡単というわけではなさそうだが.

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