2010年7月21日水曜日

本日の計算(数列の和)

面倒なだけの問題.答えが合わぬというので,合わせてやった.
問 $\frac{23}{111}$ を $0.a_1a_2a_3\ \cdots$ のように小数で表す.すなわち,小数第k位の数を$a_k$ とする.このとき,$\sum_{k=1}^n\frac{a_k}{3^k}$ を求めよ.

解答

$\frac{23}{111}=0.207207207\ \cdots$ より,$a_1=2$,$a_2=0$,$a_3=7$,$a_4=2$,$a_5=0$,$a_6=7$,$a_7=2$ ・・・
したがって,
$\sum_{k=1}^n\frac{a_k}{3^k}=\frac{2}{3^1}+\frac{0}{3^2}+\frac{7}{3^3}+\frac{2}{3^4}+\frac{0}{3^5}+\frac{7}{3^6}+\frac{2}{3^7}+\ \cdots\ +\frac{?}{3^{n-2}}+\frac{?}{3^{n-1}}+\frac{?}{3^{n}}$

n が3の倍数のとき.
$n=3l$なら,
$\sum_{k=1}^n\frac{a_k}{3^k}=\frac{2}{3^1}+\frac{0}{3^2}+\frac{7}{3^3}+\frac{2}{3^4}+\frac{0}{3^5}+\frac{7}{3^6}+\frac{2}{3^7}+\ \cdots\ \\
+\frac{2}{3^{n-5}}+\frac{0}{3^{n-4}}+\frac{7}{3^{n-3}}+\frac{2}{3^{n-2}}+\frac{0}{3^{n-1}}+\frac{7}{3^{n}} \\
=\frac{2}{3^1}+\frac{0}{3^2}+\frac{7}{3^3}+\frac{2}{3^4}+\frac{0}{3^5}+\frac{7}{3^6}+\frac{2}{3^7}+\ \cdots\ \\
+\frac{2}{3^{3l-5}}+\frac{0}{3^{3l-4}}+\frac{7}{3^{3l-3}}+\frac{2}{3^{3l-2}}+\frac{0}{3^{3l-1}}+\frac{7}{3^{3l}}\\
=\left(\frac{2}{3^1}+\frac{2}{3^4}+\ \cdots\ +\frac{2}{3^{3l-5}}+\frac{2}{3^{3l-2}}\right) \\
+ \left(\frac{0}{3^2}+\frac{0}{3^5}+\ \cdots\ +\frac{0}{3^{3l-4}}+\frac{0}{3^{3l-1}}\right)\\
+ \left(\frac{7}{3^3}+\frac{7}{3^6}+\ \cdots\ +\frac{7}{3^{3l-3}}+\frac{7}{3^{3l}}\right)$

$\left(\frac{2}{3^1}+\frac{2}{3^4}+\ \cdots\ +\frac{2}{3^{3l-5}}+\frac{2}{3^{3l-2}}\right)$ は初項 $\frac{2}{3}$ 公比$l$ の等比数列の和なので,
$\frac{2}{3}\cdot\frac{1-\left(\frac{1}{3^3}\right)^l}{1-\frac{1}{3^3}}
=\frac{2}{3}\cdot\frac{1-\frac{1}{3^{3l}}}{\frac{26}{27}}
=\frac{2}{3}\cdot\frac{27}{26}\left(1-\frac{1}{3^{3l}}\right)
=\frac{18}{26}\left(1-\frac{1}{3^{n}}\right)
$

$\left(\frac{0}{3^2}+\frac{0}{3^5}+\ \cdots\ +\frac{0}{3^{3l-4}}+\frac{0}{3^{3l-1}}\right)$ は初項 0 なので,すべての項が0だから,和は0.

$\left(\frac{7}{3^3}+\frac{7}{3^6}+\ \cdots\ +\frac{7}{3^{3l-3}}+\frac{7}{3^{3l}}\right)$ は初項 $\frac{7}{3^3}$ 公比$\frac{1}{3^3}$ 項数$l$ の等比数列の和なので,
$\frac{7}{3^3}\cdot\frac{1-\left(\frac{1}{3^3}\right)^l}{1-\frac{1}{3^3}}
=\frac{7}{3^3}\frac{1-\frac{1}{3^{3l}}}{\frac{26}{27}}
=\frac{7}{27}\cdot\frac{27}{26}\left(1-\frac{1}{3^{3l}}\right)
=\frac{7}{26}\left(1-\frac{1}{3^{n}}\right)
$
したがって,n が3の倍数のとき,
$\sum_{k=1}^n\frac{a_k}{3^k}=\sum_{k=1}^n\frac{a_k}{3^k}=\frac{18}{26}\left(1-\frac{1}{3^{n}}\right)+\frac{7}{26}\left(1-\frac{1}{3^{n}}\right)=\frac{25}{26}\left(1-\frac{1}{3^{n}}\right)$


つづいて,n が3の倍数より1少ないとき.
つまり,$\sum_{k=1}^n\frac{a_k}{3^k}=\frac{2}{3^1}+\frac{0}{3^2}+\frac{7}{3^3}+\frac{2}{3^4}+\frac{0}{3^5}+\frac{7}{3^6}+\frac{2}{3^7}+\ \cdots\ \\
+\frac{2}{3^{n-5}}+\frac{0}{3^{n-4}}+\frac{7}{3^{n-3}}+\frac{2}{3^{n-2}}+\frac{0}{3^{n-1}} \\
=\frac{2}{3^1}+\frac{0}{3^2}+\frac{7}{3^3}+\frac{2}{3^4}+\frac{0}{3^5}+\frac{7}{3^6}+\frac{2}{3^7}+\ \cdots\ \\
+\frac{2}{3^{3l-5}}+\frac{0}{3^{3l-4}}+\frac{7}{3^{3l-3}}+\frac{2}{3^{3l-2}}+\frac{0}{3^{3l-1}}\\
=\left(\frac{2}{3^1}+\frac{2}{3^4}+\ \cdots\ +\frac{2}{3^{3l-5}}+\frac{2}{3^{3l-2}}\right) \\
+ \left(\frac{0}{3^2}+\frac{0}{3^5}+\ \cdots\ +\frac{0}{3^{3l-4}}+\frac{0}{3^{3l-1}}\right)\\
+ \left(\frac{7}{3^3}+\frac{7}{3^6}+\ \cdots\ +\frac{7}{3^{3l-3}}\right)$

$\left(\frac{2}{3^1}+\frac{2}{3^4}+\ \cdots\ +\frac{2}{3^{3l-5}}+\frac{2}{3^{3l-2}}\right)$ は初項 $\frac{2}{3}$ 公比$\frac{1}{3^3}$ 項数$l$ の等比数列の和なので,
$\frac{2}{3}\cdot\frac{1-\left(\frac{1}{3^3}\right)^l}{1-\frac{1}{3^3}}
=\frac{2}{3}\frac{1-\frac{1}{3^{3l}}}{\frac{26}{27}}
=\frac{2}{3}\cdot\frac{27}{26}\left(1-\frac{1}{3^{3l}}\right)
=\frac{18}{26}\left(1-\frac{1}{3^{n+1}}\right)
$
(n が3の倍数のときと違って,3l=n+1 であることに注意)

$\left(\frac{0}{3^2}+\frac{0}{3^5}+\ \cdots\ +\frac{0}{3^{3l-4}}+\frac{0}{3^{3l-1}}\right)$ は初項 0 なので,すべての項が0だから,和は0.

$\left(\frac{7}{3^3}+\frac{7}{3^6}+\ \cdots\ +\frac{7}{3^{3l-3}}\right)$ は初項 $\frac{7}{3^3}$ 公比$\frac{1}{3^3}$ 項数$l-1$ の等比数列の和なので,
$\frac{7}{3^3}\cdot\frac{1-\left(\frac{1}{3^3}\right)^{l-1}}{1-\frac{1}{3^3}}
=\frac{7}{27}\cdot\frac{1-\frac{1}{3^{3(l-1)}}}{\frac{26}{27}}
=\frac{7}{27}\cdot\frac{27}{26}\left(1-\frac{1}{3^{3l-3}}\right)\\
=\frac{7}{26}\left(1-\frac{1}{3^{n+1-3}}\right)
=\frac{7}{26}\left(1-\frac{1}{3^{n-2}}\right)
$
(3l=n+1 であることに注意)

したがって,n が3の倍数より 1 小さいとき,
$\sum_{k=1}^n\frac{a_k}{3^k}=\frac{18}{26}\left(1-\frac{1}{3^{n+1}}\right)+\frac{7}{26}\left(1-\frac{1}{3^{n-2}}\right)\\
=\frac{1}{26}\left(18-\frac{18}{3^{n+1}}\right)+\frac{1}{26}\left(7-\frac{7}{3^{n-2}}\right) \\
=\frac{1}{26}\left(18-\frac{2\cdot3^2}{3^{n+1}} + 7-\frac{7}{3^{n-2}}\right) \\
=\frac{1}{26}\left(25-\frac{2}{3^{n+1-2}}-\frac{7\cdot3}{3^{n-2}\cdot3}\right) \\
=\frac{1}{26}\left(25-\frac{2}{3^{n-1}} -\frac{21}{3^{n-1}}\right) \\
=\frac{1}{26}\left(25-\frac{23}{3^{n-1}} \right)
$

最後に,n が3の倍数より2少ないとき.
つまり,$\sum_{k=1}^n\frac{a_k}{3^k}=\frac{2}{3^1}+\frac{0}{3^2}+\frac{7}{3^3}+\frac{2}{3^4}+\frac{0}{3^5}+\frac{7}{3^6}+\frac{2}{3^7}+\ \cdots\ \\
+\frac{2}{3^{n-5}}+\frac{0}{3^{n-4}}+\frac{7}{3^{n-3}}+\frac{2}{3^{n-2}}+\frac{0}{3^{n-1}} \\
+\frac{2}{3^{n-5}}+\frac{0}{3^{n-4}}+\frac{7}{3^{n-3}}+\frac{2}{3^{n-2}} \\
=\frac{2}{3^1}+\frac{0}{3^2}+\frac{7}{3^3}+\frac{2}{3^4}+\frac{0}{3^5}+\frac{7}{3^6}+\frac{2}{3^7}+\ \cdots\ \\
+\frac{2}{3^{3l-5}}+\frac{0}{3^{3l-4}}+\frac{7}{3^{3l-3}}+\frac{2}{3^{3l-2}}\\
=\left(\frac{2}{3^1}+\frac{2}{3^4}+\ \cdots\ +\frac{2}{3^{3l-5}}+\frac{2}{3^{3l-2}}\right) \\
+ \left(\frac{0}{3^2}+\frac{0}{3^5}+\ \cdots\ +\frac{0}{3^{3l-4}}\right)\\
+ \left(\frac{7}{3^3}+\frac{7}{3^6}+\ \cdots\ +\frac{7}{3^{3l-3}}\right)
$

$\left(\frac{2}{3^1}+\frac{2}{3^4}+\ \cdots\ +\frac{2}{3^{3l-5}}+\frac{2}{3^{3l-2}}\right)$ は初項 $\frac{2}{3}$ 公比$\frac{1}{3^3}$ 項数$l$ の等比数列の和なので,
$\frac{2}{3}\cdot\frac{1-\left(\frac{1}{3^3}\right)^l}{1-\frac{1}{3^3}}
=\frac{2}{3}\frac{1-\frac{1}{3^{3l}}}{\frac{26}{27}}
=\frac{2}{3}\cdot\frac{27}{26}\left(1-\frac{1}{3^{3l}}\right)
=\frac{18}{26}\left(1-\frac{1}{3^{n+2}}\right)
$
(3l=n+2 であることに注意)

$\left(\frac{0}{3^2}+\frac{0}{3^5}+\ \cdots\ +\frac{0}{3^{3l-4}}+\frac{0}{3^{3l-1}}\right)$ は初項 0 なので,すべての項が0だから,和は0.

$\left(\frac{7}{3^3}+\frac{7}{3^6}+\ \cdots\ +\frac{7}{3^{3l-3}}\right)$ は初項 $\frac{7}{3^3}$ 公比$\frac{1}{3^3}$ 項数$l-1$ の等比数列の和なので,
$\frac{7}{3^3}\cdot\frac{1-\left(\frac{1}{3^3}\right)^{l-1}}{1-\frac{1}{3^3}}
=\frac{7}{27}\cdot\frac{1-\frac{1}{3^{3(l-1)}}}{\frac{26}{27}}
=\frac{7}{27}\cdot\frac{27}{26}\left(1-\frac{1}{3^{3l-3}}\right)\\
=\frac{7}{26}\left(1-\frac{1}{3^{n+2-3}}\right)
=\frac{7}{26}\left(1-\frac{1}{3^{n-1}}\right)
$
(3l=n+2 であることに注意)

したがって,n が3の倍数より 2 小さいとき,
$\sum_{k=1}^n\frac{a_k}{3^k}=\frac{18}{26}\left(1-\frac{1}{3^{n+2}}\right)+ \frac{7}{26}\left(1-\frac{1}{3^{n-1}}\right)\\
=\frac{1}{26}\left(18-\frac{18}{3^{n+2}}\right)+ \frac{1}{26}\left(7-\frac{7}{3^{n-1}}\right)\\
=\frac{1}{26}\left(18-\frac{2\cdot3^2}{3^n\cdot3^2}\right)+ \frac{1}{26}\left(7-\frac{7\cdot3}{3^{n-1}\cdot3}\right)\\
=\frac{1}{26}\left(18-\frac{2}{3^n}\right)+ \frac{1}{26}\left(7-\frac{21}{3^n}\right)\\
=\frac{1}{26}\left(18-\frac{2}{3^n} + 7 -\frac{21}{3^n}\right)\\
=\frac{1}{26}\left(25-\frac{23}{3^n}\right)
$


答.
n が3の倍数のとき,$\frac{25}{26}\left(1-\frac{1}{3^{n}}\right)$
n が3の倍数より1小さいとき,$\frac{1}{26}\left(25-\frac{23}{3^{n-1}} \right)$
n が3の倍数より2小さいとき,$\frac{1}{26}\left(25-\frac{23}{3^n}\right)$

0 件のコメント:

コメントを投稿

「コメントの記入者:」は「匿名」ではなく,「名前/URL」を選んで,なにかニックネームを入れてください.URL は空欄で構いません.