2010年7月21日水曜日

本日の計算(数列の和)

面倒なだけの問題.答えが合わぬというので,合わせてやった.
問 \frac{23}{111}0.a_1a_2a_3\ \cdots のように小数で表す.すなわち,小数第k位の数をa_k とする.このとき,\sum_{k=1}^n\frac{a_k}{3^k} を求めよ.

解答

\frac{23}{111}=0.207207207\ \cdots より,a_1=2a_2=0a_3=7a_4=2a_5=0a_6=7a_7=2 ・・・
したがって,
\sum_{k=1}^n\frac{a_k}{3^k}=\frac{2}{3^1}+\frac{0}{3^2}+\frac{7}{3^3}+\frac{2}{3^4}+\frac{0}{3^5}+\frac{7}{3^6}+\frac{2}{3^7}+\ \cdots\ +\frac{?}{3^{n-2}}+\frac{?}{3^{n-1}}+\frac{?}{3^{n}}

n が3の倍数のとき.
n=3lなら,
\sum_{k=1}^n\frac{a_k}{3^k}=\frac{2}{3^1}+\frac{0}{3^2}+\frac{7}{3^3}+\frac{2}{3^4}+\frac{0}{3^5}+\frac{7}{3^6}+\frac{2}{3^7}+\ \cdots\ \\ \hspace{40}
 +\frac{2}{3^{n-5}}+\frac{0}{3^{n-4}}+\frac{7}{3^{n-3}}+\frac{2}{3^{n-2}}+\frac{0}{3^{n-1}}+\frac{7}{3^{n}} \\ \hspace{20}
 =\frac{2}{3^1}+\frac{0}{3^2}+\frac{7}{3^3}+\frac{2}{3^4}+\frac{0}{3^5}+\frac{7}{3^6}+\frac{2}{3^7}+\ \cdots\ \\ \hspace{40}
 +\frac{2}{3^{3l-5}}+\frac{0}{3^{3l-4}}+\frac{7}{3^{3l-3}}+\frac{2}{3^{3l-2}}+\frac{0}{3^{3l-1}}+\frac{7}{3^{3l}}\\ \hspace{20}
 =\left(\frac{2}{3^1}+\frac{2}{3^4}+\ \cdots\ +\frac{2}{3^{3l-5}}+\frac{2}{3^{3l-2}}\right) \\ \hspace{40} 
 + \left(\frac{0}{3^2}+\frac{0}{3^5}+\ \cdots\ +\frac{0}{3^{3l-4}}+\frac{0}{3^{3l-1}}\right)\\ \hspace{40}
 + \left(\frac{7}{3^3}+\frac{7}{3^6}+\ \cdots\ +\frac{7}{3^{3l-3}+\frac{7}{3^{3l}}\right)

\left(\frac{2}{3^1}+\frac{2}{3^4}+\ \cdots\ +\frac{2}{3^{3l-5}}+\frac{2}{3^{3l-2}}\right) は初項 \frac{2}{3} 公比\frac{1}{3^3} 項数l の等比数列の和なので,
\frac{2}{3}\cdot\frac{1-\left(\frac{1}{3^3}\right)^l}{1-\frac{1}{3^3}}
=\frac{2}{3}\cdot\frac{1-\frac{1}{3^{3l}}}{\frac{26}{27}}
=\frac{2}{3}\cdot\frac{27}{26}\left(1-\frac{1}{3^{3l}}\right)
=\frac{18}{26}\left(1-\frac{1}{3^{n}}\right)

\left(\frac{0}{3^2}+\frac{0}{3^5}+\ \cdots\ +\frac{0}{3^{3l-4}}+\frac{0}{3^{3l-1}}\right) は初項 0 なので,すべての項が0だから,和は0.

\left(\frac{7}{3^3}+\frac{7}{3^6}+\ \cdots\ +\frac{7}{3^{3l-3}}+\frac{7}{3^{3l}}\right) は初項 \frac{7}{3^3} 公比\frac{1}{3^3} 項数l の等比数列の和なので,
\frac{7}{3^3}\cdot\frac{1-\left(\frac{1}{3^3}\right)^l}{1-\frac{1}{3^3}}
=\frac{7}{3^3}\frac{1-\frac{1}{3^{3l}}}{\frac{26}{27}}
=\frac{7}{27}\cdot\frac{27}{26}\left(1-\frac{1}{3^{3l}}\right)
=\frac{7}{26}\left(1-\frac{1}{3^{n}}\right)
したがって,n が3の倍数のとき,
\sum_{k=1}^n\frac{a_k}{3^k}=\sum_{k=1}^n\frac{a_k}{3^k}=\frac{18}{26}\left(1-\frac{1}{3^{n}}\right)+\frac{7}{26}\left(1-\frac{1}{3^{n}}\right)=\frac{25}{26}\left(1-\frac{1}{3^{n}}\right)


つづいて,n が3の倍数より1少ないとき.
つまり,n=3l-1n=3l=n+1)なら,
\sum_{k=1}^n\frac{a_k}{3^k}=\frac{2}{3^1}+\frac{0}{3^2}+\frac{7}{3^3}+\frac{2}{3^4}+\frac{0}{3^5}+\frac{7}{3^6}+\frac{2}{3^7}+\ \cdots\ \\ \hspace{40}
 +\frac{2}{3^{n-5}}+\frac{0}{3^{n-4}}+\frac{7}{3^{n-3}}+\frac{2}{3^{n-2}}+\frac{0}{3^{n-1}} \\ \hspace{20}
 =\frac{2}{3^1}+\frac{0}{3^2}+\frac{7}{3^3}+\frac{2}{3^4}+\frac{0}{3^5}+\frac{7}{3^6}+\frac{2}{3^7}+\ \cdots\ \\ \hspace{40}
 +\frac{2}{3^{3l-5}}+\frac{0}{3^{3l-4}}+\frac{7}{3^{3l-3}}+\frac{2}{3^{3l-2}}+\frac{0}{3^{3l-1}}\\ \hspace{20}
 =\left(\frac{2}{3^1}+\frac{2}{3^4}+\ \cdots\ +\frac{2}{3^{3l-5}}+\frac{2}{3^{3l-2}}\right) \\ \hspace{40} 
 + \left(\frac{0}{3^2}+\frac{0}{3^5}+\ \cdots\ +\frac{0}{3^{3l-4}}+\frac{0}{3^{3l-1}}\right)\\ \hspace{40}
 + \left(\frac{7}{3^3}+\frac{7}{3^6}+\ \cdots\ +\frac{7}{3^{3l-3}}\right)

\left(\frac{2}{3^1}+\frac{2}{3^4}+\ \cdots\ +\frac{2}{3^{3l-5}}+\frac{2}{3^{3l-2}}\right) は初項 \frac{2}{3} 公比\frac{1}{3^3} 項数l の等比数列の和なので,
\frac{2}{3}\cdot\frac{1-\left(\frac{1}{3^3}\right)^l}{1-\frac{1}{3^3}}
=\frac{2}{3}\frac{1-\frac{1}{3^{3l}}}{\frac{26}{27}}
=\frac{2}{3}\cdot\frac{27}{26}\left(1-\frac{1}{3^{3l}}\right)
=\frac{18}{26}\left(1-\frac{1}{3^{n+1}}\right)
(n が3の倍数のときと違って,3l=n+1 であることに注意)

\left(\frac{0}{3^2}+\frac{0}{3^5}+\ \cdots\ +\frac{0}{3^{3l-4}}+\frac{0}{3^{3l-1}}\right) は初項 0 なので,すべての項が0だから,和は0.

\left(\frac{7}{3^3}+\frac{7}{3^6}+\ \cdots\ +\frac{7}{3^{3l-3}}\right) は初項 \frac{7}{3^3} 公比\frac{1}{3^3} 項数l-1 の等比数列の和なので,
\frac{7}{3^3}\cdot\frac{1-\left(\frac{1}{3^3}\right)^{l-1}}{1-\frac{1}{3^3}}
=\frac{7}{27}\cdot\frac{1-\frac{1}{3^{3(l-1)}}}{\frac{26}{27}}
=\frac{7}{27}\cdot\frac{27}{26}\left(1-\frac{1}{3^{3l-3}}\right)\\
=\frac{7}{26}\left(1-\frac{1}{3^{n+1-3}}\right)
=\frac{7}{26}\left(1-\frac{1}{3^{n-2}}\right)
(3l=n+1 であることに注意)

したがって,n が3の倍数より 1 小さいとき,
\sum_{k=1}^n\frac{a_k}{3^k}=\frac{18}{26}\left(1-\frac{1}{3^{n+1}}\right)+\frac{7}{26}\left(1-\frac{1}{3^{n-2}}\right)\\ \hspace{20}
=\frac{1}{26}\left(18-\frac{18}{3^{n+1}}\right)+\frac{1}{26}\left(7-\frac{7}{3^{n-2}}\right) \\ \hspace{20}
=\frac{1}{26}\left(18-\frac{2\cdot3^2}{3^{n+1}} + 7-\frac{7}{3^{n-2}}\right) \\ \hspace{20}
=\frac{1}{26}\left(25-\frac{2}{3^{n+1-2}}-\frac{7\cdot3}{3^{n-2}\cdot3}\right) \\ \hspace{20}
=\frac{1}{26}\left(25-\frac{2}{3^{n-1}} -\frac{21}{3^{n-1}}\right) \\ \hspace{20}
=\frac{1}{26}\left(25-\frac{23}{3^{n-1}} \right)

最後に,n が3の倍数より2少ないとき.
つまり,n=3l-2n=3l=n+2)なら,
\sum_{k=1}^n\frac{a_k}{3^k}=\frac{2}{3^1}+\frac{0}{3^2}+\frac{7}{3^3}+\frac{2}{3^4}+\frac{0}{3^5}+\frac{7}{3^6}+\frac{2}{3^7}+\ \cdots\ \\ \hspace{40}
 +\frac{2}{3^{n-5}}+\frac{0}{3^{n-4}}+\frac{7}{3^{n-3}}+\frac{2}{3^{n-2}}+\frac{0}{3^{n-1}} \\ \hspace{20}
 +\frac{2}{3^{n-5}}+\frac{0}{3^{n-4}}+\frac{7}{3^{n-3}}+\frac{2}{3^{n-2}} \\ \hspace{20}
 =\frac{2}{3^1}+\frac{0}{3^2}+\frac{7}{3^3}+\frac{2}{3^4}+\frac{0}{3^5}+\frac{7}{3^6}+\frac{2}{3^7}+\ \cdots\ \\ \hspace{40}
 +\frac{2}{3^{3l-5}}+\frac{0}{3^{3l-4}}+\frac{7}{3^{3l-3}}+\frac{2}{3^{3l-2}}\\ \hspace{20}
 =\left(\frac{2}{3^1}+\frac{2}{3^4}+\ \cdots\ +\frac{2}{3^{3l-5}}+\frac{2}{3^{3l-2}}\right) \\ \hspace{40} 
 + \left(\frac{0}{3^2}+\frac{0}{3^5}+\ \cdots\ +\frac{0}{3^{3l-4}}\right)\\ \hspace{40}
 + \left(\frac{7}{3^3}+\frac{7}{3^6}+\ \cdots\ +\frac{7}{3^{3l-3}}\right)

\left(\frac{2}{3^1}+\frac{2}{3^4}+\ \cdots\ +\frac{2}{3^{3l-5}}+\frac{2}{3^{3l-2}}\right) は初項 \frac{2}{3} 公比\frac{1}{3^3} 項数l の等比数列の和なので,
\frac{2}{3}\cdot\frac{1-\left(\frac{1}{3^3}\right)^l}{1-\frac{1}{3^3}}
=\frac{2}{3}\frac{1-\frac{1}{3^{3l}}}{\frac{26}{27}}
=\frac{2}{3}\cdot\frac{27}{26}\left(1-\frac{1}{3^{3l}}\right)
=\frac{18}{26}\left(1-\frac{1}{3^{n+2}}\right)
(3l=n+2 であることに注意)

\left(\frac{0}{3^2}+\frac{0}{3^5}+\ \cdots\ +\frac{0}{3^{3l-4}}+\frac{0}{3^{3l-1}}\right) は初項 0 なので,すべての項が0だから,和は0.

\left(\frac{7}{3^3}+\frac{7}{3^6}+\ \cdots\ +\frac{7}{3^{3l-3}}\right) は初項 \frac{7}{3^3} 公比\frac{1}{3^3} 項数l-1 の等比数列の和なので,
\frac{7}{3^3}\cdot\frac{1-\left(\frac{1}{3^3}\right)^{l-1}}{1-\frac{1}{3^3}}
=\frac{7}{27}\cdot\frac{1-\frac{1}{3^{3(l-1)}}}{\frac{26}{27}}
=\frac{7}{27}\cdot\frac{27}{26}\left(1-\frac{1}{3^{3l-3}}\right)\\
=\frac{7}{26}\left(1-\frac{1}{3^{n+2-3}}\right)
=\frac{7}{26}\left(1-\frac{1}{3^{n-1}}\right)
(3l=n+2 であることに注意)

したがって,n が3の倍数より 2 小さいとき,
\sum_{k=1}^n\frac{a_k}{3^k}=\frac{18}{26}\left(1-\frac{1}{3^{n+2}}\right)+ \frac{7}{26}\left(1-\frac{1}{3^{n-1}}\right)\\ \hspace{20}
=\frac{1}{26}\left(18-\frac{18}{3^{n+2}}\right)+ \frac{1}{26}\left(7-\frac{7}{3^{n-1}}\right)\\ \hspace{20}
=\frac{1}{26}\left(18-\frac{2\cdot3^2}{3^n\cdot3^2}\right)+ \frac{1}{26}\left(7-\frac{7\cdot3}{3^{n-1}\cdot3}\right)\\ \hspace{20}
=\frac{1}{26}\left(18-\frac{2}{3^n}\right)+ \frac{1}{26}\left(7-\frac{21}{3^n}\right)\\ \hspace{20}
=\frac{1}{26}\left(18-\frac{2}{3^n} + 7 -\frac{21}{3^n}\right)\\ \hspace{20}
=\frac{1}{26}\left(25-\frac{23}{3^n}\right)


答.
n が3の倍数のとき,\frac{25}{26}\left(1-\frac{1}{3^{n}}\right)
n が3の倍数より1小さいとき,\frac{1}{26}\left(25-\frac{23}{3^{n-1}} \right)
n が3の倍数より2小さいとき,\frac{1}{26}\left(25-\frac{23}{3^n}\right)

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