2010年6月25日金曜日

x→1 のとき, x^(x/(1-x)) の極限

$1-x=-t$ とおくと,
$x\to1$ のとき,
$-t\to0$,$x=1+t$ より,

$x^{\frac{x}{1-x}} \\
=(1+t)^{\frac{1+t}{-t}} \\
=(1+t)^{\frac{-1}{t}-1} \\
=(1+t)^{\frac{-1}{t}}\times(1+t)^{-1} \\
=\left((1+t)^{\frac{1}{t}}\right)^{-1}\times(1+t)^{-1} \\
\to e^{-1}\times(1+0)^{-1} \\
=\frac{1}{e}\times\frac{1}{1} \\
=\frac{1}{e}$

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