2010年5月12日水曜日

代数学の基本定理の絵

やはり絵がないと・・・>昨日の記事

元の円(青い円,原点が中心で半径 r)
z = r(cos t + i sin t) = (r cos t, r sin t)

f(z) = z^3 -2z^2 -5z +6
で写す.(赤の図形)

Mathematica 6.0 で描いてみた.

f[z_] := z^3 - 2 z^2 - 5 z + 6

Manipulate[
ParametricPlot[{{r Cos[t], r Sin[t]}, {Re[f[r (Cos[t] + I Sin[t])]], Im[f[r (Cos[t] + I Sin[t])]]}}, {t, 0, 2 \[Pi]}], {r, 0, 100}]

元の半径 r=0.5


r=1.0


r=1.5


r=2.0


r=3.0


r=4.0


r=10.0


r=100.0




f(z) = z^100 - 2 z^9 + 3 z^8 - 2 z^7 + 4 z^2 + 1
で写してみる.
r=0.2


r=1.0


r=1.05


つまり,1点 f(0)=1 から f( r cos t + i sin t )) のでかい図形に写る間に,少なくとも1回は原点を通過する.
その点 α=a+bi については, f(α)=0 だから,z=α は方程式 f(z)=0 の解である.

z^100 - 2 z^9 + 3 z^8 - 2 z^7 + 4 z^2 + 1 = 0
の解のひとつは z = -1.0260056224712162 - 0.034160790846973696i である.

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