2009年12月11日金曜日

調和級数と素数

以前の記事で,調和級数と素数pの式\frac{p^2}{p^2-1}の無限積が等しいことを書いた.
\frac{2^2}{2^2-1}\times\frac{3^2}{3^2-1}\times\frac{5^2}{5^2-1}\times\frac{7^2}{7^2-1}\times\cdots
=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots

「2乗」がくっついているが,それがなくても変形方法は同じなので,
\frac{2}{2-1}\times\frac{3}{3-1}\times\frac{5}{5-1}\times\frac{7}{7-1}\times\cdots
=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots
となる理由.

まず,それぞれの素数pの式\frac{p}{p-1}について,分母分子を p で割って,\frac{1}{1-\frac{1}{p}}の形にする.p=2 のときは,
\frac{2}{2-1}
の分母分子を2で割って
\frac{1}{1-\frac{1}{2}}
ここで,初項1,公比r,項数n の等比数列の和は
1+r+r^2+r^3+\,\cdots\, +r^{n-1}=\frac{1-r^n}{1-r}
より,n→∞とすれば|r|\lt1のときr^n\to0だから,和も収束して,
1+r+r^2+r^3+\,\cdots=\frac{1}{1-r}
このことから,
\frac{1}{1-\frac{1}{2}}
は,初項1,公比\frac{1}{2}の等比級数の和の極限である.
1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\,\cdots=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}

他の素数についても同様だから,
\frac{2}{2-1}\times\frac{3}{3-1}\times\frac{5}{5-1}\times\frac{7}{7-1}\times\cdots
=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}\times\frac{1}{1-\frac{1}{3}}\times\frac{1}{1-\frac{1}{5}}\times\frac{1}{1-\frac{1}{7}}\times\cdots
=(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}\,\cdots\,)(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}\,\cdots\,)(1+\frac{1}{5}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{5^3}\,\cdots\,)(1+\frac{1}{7}+\frac{1}{7^2}+\frac{1}{7^3}\,\cdots\,)\,\cdots
これを展開すると,調和級数
=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots
になる.なぜなら,はじめの1はすべての括弧の中の先頭にある1の積で表される.
1=1\cdot1\cdot1\cdot1\cdots
第2項の\frac{1}{2}は最初の括弧の中の\frac{1}{2}を取り,それ以降の括弧からは1ばかりを選んで積を作る.
\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\cdot1\cdot1\cdot1\cdots
以下同様に,
\frac{1}{3}=1\cdot\frac{1}{3}\cdot1\cdot1\cdots
\frac{1}{4}=\frac{1}{2^2}\cdot1\cdot1\cdot1\cdots
\frac{1}{5}=1\cdot1\cdot\frac{1}{5}\cdot1\cdots
\frac{1}{6}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}\cdot1\cdot1\cdots
\frac{1}{7}=1\cdot1\cdot1\cdot\frac{1}{7}\cdots
\frac{1}{8}=\frac{1}{2^3}\cdot1\cdot1\cdot1\cdots
\frac{1}{9}=1\cdot\frac{1}{3^2}\cdot1\cdot1\cdots
\frac{1}{10}=\frac{1}{2}\cdot1\cdot\frac{1}{5}\cdot1\cdots
と続く.

このように素数の式の無限積
\frac{2}{2-1}\times\frac{3}{3-1}\times\frac{5}{5-1}\times\frac{7}{7-1}\times\cdots
は調和級数
\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots
はに等しいわけだだが,このことからも,素数が無限にたくさんあることがわかる.

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