2009年9月16日水曜日

(1+x^2)^(-1/2) = 1/√(1+x^2)の積分

逆双曲三角関数の微分公式からいきなり答えがでるが,計算してみる.

$\int\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}dx$

$x=\tan\theta$,$dx=\frac{1}{\cos^2\theta}$
$=\int\frac{1}{\sqrt{1+\tan^2\theta}}\frac{1}{\cos^2\theta}d\theta$
$=\int\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{\cos^2\theta}}}\frac{1}{\cos^2\theta}d\theta$
$=\int\frac{1}{\left(\frac{1}{\cos\theta}\right)}\frac{1}{\cos^2\theta}d\theta$
$=\int\frac{\cos\theta}{\cos^2\theta}d\theta$
$=\int\frac{\cos\theta}{1-\sin^2\theta}d\theta$
$t=\sin\theta$,$dt=\cos\theta d\theta$
$=\int\frac{1}{1-t^2}dt$
部分分数分解
$\frac{1}{1-t^2}=\frac{1}{(1+t)(1-t)}=\frac{a}{1+t}+\frac{b}{1-t}$
両辺の$1-t^2$ 倍
$1=a(1-t)+b(1+t)=(-a+b)t+(a+b)$
より,係数比較で
$-a+b=0,\ a+b=1$ から,$a=b=\frac{1}{2}$
よって,
$\frac{1}{1-t^2}=\frac{1}{(1+t)(1-t)}=\frac{\frac{1}{2}}{1+t}+\frac{\frac{1}{2}}{1-t}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1+t}+\frac{1}{1-t}\right)$

したがって,
$\int\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}dx$
$=\int\frac{1}{1-t^2}dt$
$=\frac{1}{2}\left(\int\frac{1}{1+t}dt+\int\frac{1}{1-t}dt\right)$
$=\frac{1}{2}\left(\log(1+t)-\log(1-t)\right)$
$=\frac{1}{2}\log\frac{1+t}{1-t}$
$=\frac{1}{2}\log\frac{1+\sin\theta}{1-\sin\theta}$
$=\frac{1}{2}\log\frac{(1+\sin\theta)^2}{(1-\sin\theta)(1+\sin\theta)}$
$=\frac{1}{2}\log\frac{(1+\sin\theta)^2}{1-\sin^2\theta}$
$=\frac{1}{2}\log\frac{(1+\sin\theta)^2}{\cos^2\theta}$
$=\frac{1}{2}\log\left(\frac{1+\sin\theta}{\cos\theta}\right)^2$
$=\log\frac{1+\sin\theta}{\cos\theta}$
$=\log\left(\frac{1}{\cos\theta}+\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\right)$
$=\log\left(\sqrt{\frac{1}{\cos^2\theta}}+\tan\theta\right)$
$=\log\left(\sqrt{1+\tan^2\theta}+\tan\theta\right)$
$=\log\left(\sqrt{1+x^2}+x\right)$

$y=\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$ の逆関数は両辺を$2e^x$倍して
$2e^x y=e^{x}e^{x}-e^{x}e^{-x}=(e^{x})^2-1$
すべて左辺に移項して$e^x$の2次方程式
$(e^x)^2-2ye^x-1=0$
をとくと,
$e^x=y+\sqrt{y^2+1}$
よって,
$x=\log(y+\sqrt{y^2+1})$
だから,$\sinh$の逆関数は
$y=\rm{arcsinh}(x)=\log(x+\sqrt{x^2+1})$

したがって,
$\int\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}dx=\log\left(\sqrt{1+x^2}+x\right)=\rm{arcsinh}(x)$

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