2009年9月16日水曜日

(1+x^2)^(-1/2) = 1/√(1+x^2)の積分

逆双曲三角関数の微分公式からいきなり答えがでるが,計算してみる.

\int\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}dx

x=\tan\thetadx=\frac{1}{\cos^2\theta}
=\int\frac{1}{\sqrt{1+\tan^2\theta}}\frac{1}{\cos^2\theta}d\theta
=\int\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{\cos^2\theta}}}\frac{1}{\cos^2\theta}d\theta
=\int\frac{1}{\left(\frac{1}{\cos\theta}\right)}\frac{1}{\cos^2\theta}d\theta
=\int\frac{\cos\theta}{\cos^2\theta}d\theta
=\int\frac{\cos\theta}{1-\sin^2\theta}d\theta
t=\sin\thetadt=\cos\theta d\theta
=\int\frac{1}{1-t^2}dt
部分分数分解
\frac{1}{1-t^2}=\frac{1}{(1+t)(1-t)}=\frac{a}{1+t}+\frac{b}{1-t}
両辺の1-t^2
1=a(1-t)+b(1+t)=(-a+b)t+(a+b)
より,係数比較で
-a+b=0,\ a+b=1 から,a=b=\frac{1}{2}
よって,
\frac{1}{1-t^2}=\frac{1}{(1+t)(1-t)}=\frac{\frac{1}{2}}{1+t}+\frac{\frac{1}{2}}{1-t}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1+t}+\frac{1}{1-t}\right)

したがって,
\int\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}dx
=\int\frac{1}{1-t^2}dt
=\frac{1}{2}\left(\int\frac{1}{1+t}dt+\int\frac{1}{1-t}dt\right)
=\frac{1}{2}\left(\log(1+t)-\log(1-t)\right)
=\frac{1}{2}\log\frac{1+t}{1-t}
=\frac{1}{2}\log\frac{1+\sin\theta}{1-\sin\theta}
=\frac{1}{2}\log\frac{(1+\sin\theta)^2}{(1-\sin\theta)(1+\sin\theta)}
=\frac{1}{2}\log\frac{(1+\sin\theta)^2}{1-\sin^2\theta}
=\frac{1}{2}\log\frac{(1+\sin\theta)^2}{\cos^2\theta}
=\frac{1}{2}\log\left(\frac{1+\sin\theta}{\cos\theta}\right)^2
=\log\frac{1+\sin\theta}{\cos\theta}
=\log\left(\frac{1}{\cos\theta}+\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\right)
=\log\left(\sqrt{\frac{1}{\cos^2\theta}}+\tan\theta\right)
=\log\left(\sqrt{1+\tan^2\theta}+\tan\theta\right)
=\log\left(\sqrt{1+x^2}+x\right)

y=\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2} の逆関数は両辺を2e^x倍して
2e^x y=e^{x}e^{x}-e^{x}e^{-x}=(e^{x})^2-1
すべて左辺に移項してe^xの2次方程式
(e^x)^2-2ye^x-1=0
をとくと,
e^x=y+\sqrt{y^2+1}
よって,
x=\log(y+\sqrt{y^2+1})
だから,\sinhの逆関数は
y=\rm{arcsinh}(x)=\log(x+\sqrt{x^2+1})

したがって,
\int\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}dx=\log\left(\sqrt{1+x^2}+x\right)=\rm{arcsinh}(x)

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