2009年5月11日月曜日

x^x^x の微分

まずは,
y=x^x
の微分.両辺の自然対数を取って,
 \log y=\log x^x \\ \hspace{20} =x\log x
両辺を微分.
y=\frac{y'}{y}=1\log x+x\frac{1}{x} = \log x + 1
y'=y(\log x + 1)=x^x(\log x + 1)

同様に,
y=x^x^x
の両辺の自然対数を取って,
 \hspace{20} =x^x\log x
両辺を微分.
\frac{y'}{y}=(x^x)'\log x + x^x(\log x)' \\ \hspace{20} =x^x(\log x +1) \log x + x^x \cdot \frac{1}{x}\\ \hspace{20} =x^x(\log x +1)\log x + x^{x-1}
よって,
y'=y(x^x(\log x +1)\log x + x^{x-1})\\ \hspace{20} =x^x^x(x^x(\log x +1)\log x + x^{x-1})

検算>Wolfram Mathematica Online Integrator

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