2009年4月7日火曜日

積分 (x^3+1)/(x^3-1)

検索語である.
分数式は必ず積分できるので,これもたやすい.

まずは,分数式 \frac{x^3+1}{x^3-1} を部分分数に分解する.

(x^3+1)÷(x^3-1) の商1,余り2なので,
\frac{x^3+1}{x^3-1}=1+\frac{2}{x^3-1}

したがって,
\int\frac{x^3+1}{x^3-1}dx=\int 1dx+\int\frac{2}{x^3-1}dx=x+\int\frac{2}{x^3-1}dx
後半部分の積分は,以前書いた通りなので,
\int\frac{x^3+1}{x^3-1}dx=x+\int\frac{2}{x^3-1}dx \\=x+\frac{2}{3}\log|x-1| - \frac{1}{3}\log(x^2+x+1) -\frac{2}{\sqrt{3}}\arctan{\frac{2x+1}{\sqrt{3}}

>>積分の記事

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