2009年1月27日火曜日

sin1度の厳密解(オイラーの公式編)

以前,sin1度の厳密解を求めるとき,加法定理を駆使し,最後にカルダノの解の公式で3次方程式の一般解から求めた.>以前の記事
当時から,オイラーの関係式
e^{ix}=\cos x + i\sin x
をうまく使えば,できる気がしていたが,最近,ちょっと手を動かしたら,すぐできたのでメモ.

まず,30度
e^{i\frac{\pi}{6}}=\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}+i}{2}

続いて36度
e^{i\frac{\pi}{5}}=\cos\frac{\pi}{5} + i\sin\frac{\pi}{5}=\frac{1+\sqrt{5}}{4}+i\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}


36度-30度=6度なので,
=\frac{e^{i\frac{\pi}{5}}}{e^{i\frac{\pi}{6}}}=\frac{\frac{1+\sqrt{5}}{4}+i\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}}{\frac{\sqrt{3}+i}{2}}\\ \hspace{20}=\frac{1}{8}\left(\sqrt{3}+\sqrt{15}+\sqrt{10-2\sqrt{5}}\right)+i\frac{1}{8}\left(-1-\sqrt{5}+\sqrt{30-6\sqrt{5}}\right)

6度÷2=3度より
=(e^{i\frac{\pi}{30}})^{\frac{1}{2}} \\ \hspace{20}=\sqrt{\frac{1}{8}\left(\sqrt{3}+\sqrt{15}+\sqrt{10-2\sqrt{5}}\right)+i\frac{1}{8}\left(-1-\sqrt{5}+\sqrt{30-6\sqrt{5}}\right)}

3度÷3=1度より
=(e^{i\frac{\pi}{30}})^{\frac{1}{3}} \\ \hspace{20}=\left(\sqrt{\frac{1}{8}\left(\sqrt{3}+\sqrt{15}+\sqrt{10-2\sqrt{5}}\right)+i\frac{1}{8}\left(-1-\sqrt{5}+\sqrt{30-6\sqrt{5}}\right)}\right)^{\frac{1}{3}}
これは,
e^{i\frac{\pi}{180}}=\cos\frac{\pi}{180} + i\sin\frac{\pi}{180}
より,虚部が sin1度なので,この式から sin1度を切り出す.
e^{i\frac{-\pi}{180}}=\cos\frac{-\pi}{180} + i\sin\frac{-\pi}{180}=\cos\frac{\pi}{180} - i\sin\frac{\pi}{180}
を用いれば,
e^{i\frac{\pi}{180}} - e^{i\frac{-\pi}{180}}=2i\sin\frac{\pi}{180}
から,
=\frac{1}{2i}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{8}\left(\sqrt{3}+\sqrt{15}+\sqrt{10-2\sqrt{5}}\right)+i\frac{1}{8}\left(-1-\sqrt{5}+\sqrt{30-6\sqrt{5}}\right)}\right)^{\frac{1}{3}}\right.
\left.-\left(\sqrt{\frac{1}{8}\left(\sqrt{3}+\sqrt{15}+\sqrt{10-2\sqrt{5}}\right)-i\frac{1}{8}\left(-1-\sqrt{5}+\sqrt{30-6\sqrt{5}}\right)}\right)^{\frac{1}{3}}\right)
google 電卓で検算すると 0.0174524064 で,sin1度の数値計算と同じだから,これも sin1度の厳密解である.

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