2008年9月5日金曜日

∫[0,2](2x+1)/√(x^2+4) dx

本日の計算
\int_0^2\frac{2x+1}{\sqrt{x^2+4}}dx

x=2\sinh t=e^t-e^{-t} と置換する.

dx = (2\sinh t)' dt = (e^t-e^{-t}) dt \\\hspace{20} =  (e^t+e^{-t}) dt
2\cosh t=e^t+e^{-t} であるから,
dx = 2\cosh t\,dt

xの積分区間[0,2]
x=e^t-e^{-t} より両辺をe^t倍して
x(e^t)=(e^t)^2-1
移項,
(e^t)^2-x(e^t)-1=0
e^tの2次方程式を解いて,
e^t=\frac{x+\sqrt{x^2+4}}{2}
t=\log\frac{x+\sqrt{x^2+4}}{2}(=\arcsin h\frac{x}{2})
であるから,
x=0のとき,t=\log\frac{0+\sqrt{0^2+4}}{2}=\log 1=0
x=2のとき,t=\log\frac{2+sqrt{2^2+4}}{2}=\log{1+\sqrt{2}}
よりtの積分区間 [0,\log{(1+\sqrt{2})}]

また,
x^2+4 = (e^t-e^{-t})^2+4\\\hspace{20}=((e^t)^2-2e^te^{-t}+(e^{-t})^2)+4\\\hspace{20}=(e^t)^2-2+(e^{-t})^2+4\\\hspace{20}=(e^t)^2+2+(e^{-t})^2\\\hspace{20}=(e^t)^2+2e^te^{-t}+(e^{-t})^2\\\hspace{20}=(e^t+e^{-t})^2
2\cosh t=e^t+e^{-t}であるから,
x^2+4 =(2\cosh t)^2
よって,分母は
\sqrt{x^2+4}=\sqrt{(2\cosh t)^2}=2\cosh t

したがって,元の積分は置換によって,
\int_0^2\frac{2x+1}{\sqrt{x^2+4}}dx \\\hspace{20}=\int_0^{\log(1+\sqrt{2})}\frac{2(2\sinh t)+1}{2\cosh t} 2\cosh t\,dt \\\hspace{20}=\int_0^{\log(1+\sqrt{2})}(4\sinh t+1) dt \\\hspace{20}=\left[ 4\cosh t +t\right]_0^{\log(1+\sqrt{2})} \\\hspace{20}=\left[ 2\cdot 2\cosh t +t\right]_0^{\log(1+\sqrt{2})} \\\hspace{20}=\left[ 2e^t+2e^{-t} +t\right]_0^{\log(1+\sqrt{2})} \\\hspace{20}=2e^{\log(1+\sqrt{2})}+2e^{-{\log(1+\sqrt{2})}}+\log(1+\sqrt{2}) - (2e^{0}+2e^{0}+0 )\\\hspace{20}=2e^{\log(1+\sqrt{2})}+\frac{2}{e^{\log(1+\sqrt{2})}}+\log(1+\sqrt{2})-4 \\\hspace{20}=2(1+\sqrt{2})+\frac{2}{1+\sqrt{2}}+\log(1+\sqrt{2})-4 \\\hspace{20}=4\sqrt{2}-4+\log(1+\sqrt{2})


双曲三角関数を使えば上記のように見通しがよいが,高校数学には双曲三角が出てこない.次のようにしつこくやるしかないな.

\int_0^2\frac{2x+1}{\sqrt{x^2+4}}dx = \int_0^2\frac{2x}{\sqrt{x^2+4}}dx+\int_0^2\frac{1}{\sqrt{x^2+4}}dx

前半, \int_0^2\frac{2x}{\sqrt{x^2+4}}dx
x=2\tan tと置換すると,
dx=\frac{2}{\cos^2 t}dt
x積分区間[0,2]よりt積分区間[0,\frac{\pi}{4}]で,
x^2+4=(2\tan t)^2+4\\\hspace{20} =4\tan^2 t+4 \\\hspace{20} =4(\tan^2 t+1) \\\hspace{20} =4(\frac{1}{\cos^2}) \\\hspace{20} =(\frac{2}{\cos})^2
より分母は,
\sqrt{x^2+4}=\frac{2}{\cos t}
であるから,
\int_0^2\frac{2x}{\sqrt{x^2+4}}dx= \int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{2\cdot 2\tan t}{\frac{2}{\cos t}}\frac{2}{\cos^2 t}dt=\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{4\tan t}{\cos t}dt=\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{4\sin t}{\cos^2 t}dt \\ \hspace{20}=\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{-4(-\sin t)}{\cos^2 t}dt=\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{-4}{\cos^2 t}(cos t)'dt=\left[\frac{4}{\cos t}\right]_0^{\frac{\pi}{4}} \\ \hspace{20}=\frac{4}{\cos\frac{\pi}{4}}-\frac{4}{\cos 0}=\frac{4}{\frac{1}{\sqrt{2}}}-\frac{4}{1}=4\sqrt{2}-4

後半,\int_0^2\frac{1}{\sqrt{x^2+4}}dx
x=2\tan tと置換すると,
dx=\frac{2}{\cos^2 t}dt
x積分区間[0,2]よりt積分区間[0,\frac{\pi}{4}]で,
x^2+4=(2\tan t)^2+4 =(\frac{2}{\cos})^2
より分母は,
\sqrt{x^2+4}=\frac{2}{\cos t}
であるから,
\int_0^2\frac{1}{\sqrt{x^2+4}}dx= \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\frac{2}{\cos t}}\frac{2}{\cos^2 t}dt= \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\cos t}dt \\ \hspace{20}= \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\cos t}{\cos^2 t} dt= \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\cos t}{1-\sin^2 t} dt
\sin t= u なら,\cos t\,dt=du より,
\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\cos t}{1-\sin^2 t} dt=\int_0^{\frac{1}{\sqrt{2}}}\frac{1}{1-u^2}du
\frac{1}{1-u^2}=\frac{1}{(1+u)(1-u)} = \frac{a}{1+u}+\frac{b}{1-u}なら,
1 = a(1-u)+b(1+u)
0u+1 = (-a+b)u+(a+b)
-a+b=0a+b=1
より,a=\frac{1}{2}b=\frac{1}{2}となるから,
\int_0^{\frac{1}{\sqrt{2}}}\frac{1}{1-u^2}du=\frac{1}{2}\int_0^{\frac{1}{\sqrt{2}}}(\frac{1}{1+u}+\frac{1}{1-u})du=\frac{1}{2}\left[\log|1+u|-\log|1-u|\right]_0^{\frac{1}{\sqrt{2}}}\\ \hspace{20}=\frac{1}{2}\left[\log\frac{|1+u|}{|1-u|}\right]_0^{\frac{1}{\sqrt{2}}}=\frac{1}{2}\left(\log\frac{1+\frac{1}{\sqrt{2}}}{1-\frac{1}{\sqrt{2}}} -\log\frac{1+0}{1-0}\right)=\frac{1}{2}\left(\log\frac{\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}}}{\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}} -\log 1\right)\\ \hspace{20}=\frac{1}{2}\left(\log\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1} -0\right)=\frac{1}{2}\log\frac{(\sqrt{2}+1)^2}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} =\frac{1}{2}\log\frac{(\sqrt{2}+1)^2}{2-1} \\ \hspace{20}=\frac{1}{2}\log(\sqrt{2}+1)^2=\log(\sqrt{2}+1)^{2\cdot\frac{1}{2}} =\log(\sqrt{2}+1)

したがって,
\int_0^2\frac{2x+1}{\sqrt{x^2+4}}dx =4\sqrt{2}-4+\log(\sqrt{2}+1)
こちらが,純粋に高校範囲の式変形を使った積分.

>>積分の記事

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