2008年7月17日木曜日

(x^2+1)/(x^3+1)の積分

検索語より.

\frac{x^2+1}{x^3+1}=\frac{x^2+1}{(x+1)(x^2-x+1)} を部分分数に分解する.
\hspace{20}\frac{x^2+1}{(x+1)(x^2-x+1)}=\frac{a}{x+1}+\frac{bx+c}{x^2-x+1}
の両辺を x^3+1 倍して,
\hspace{20}x^2+1=a(x^2-x+1)+(bx+c)(x+1)\\ \hspace{40}=ax^2-ax+a+bx^2+bx+cx+c\\ \hspace{40}=(a+b)x^2+(-a+b+c)x+(a+c)
係数比較で,a+b=1-a+b+c=0a+c=1
連立方程式を解いて,a=\frac{2}{3}b=\frac{1}{3}c=\frac{1}{3}より,
\hspace{20}\frac{x^2+1}{x^3+1}=\frac{\frac{2}{3}}{x+1}+\frac{\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}}{x^2-x+1}

各項を積分する.
\frac{\frac{2}{3}}{x+1} の積分は \frac{2}{3}\log{|x+1|}

\frac{\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}}{x^2-x+1} の積分は分母の微分が 2x-1 なので,それを分子に作りこむ.
\hspace{20}\frac{1}{3}\cdot\frac{x+1}{x^2-x+1}=\frac{1}{6}\cdot\frac{2x+2}{x^2-x+1}=\frac{1}{6}\cdot\frac{2x-1+3}{x^2-x+1}\\ \hspace{40}=\frac{1}{6}\cdot\frac{2x-1}{x^2-x+1}+\frac{1}{6}\cdot\frac{3}{x^2-x+1}
\frac{1}{6}\cdot\frac{2x-1}{x^2-x+1}=\frac{1}{6}\cdot\frac{(x^2-x+1)'}{x^2-x+1} の積分は,
\hspace{20}\frac{1}{6}\log(x^2-x+1)

\frac{1}{6}\cdot\frac{3}{x^2-x+1} の積分は,分母x^2-x+1を平方完成して,
\hspace{20}x^2-x+1=(x-\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}
x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\tan\theta と置換する.
\hspace{20}x^2-x+1=(x-\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}=(\frac{\sqrt{3}}{2}\tan\theta)^2+\frac{3}{4}=\frac{3}{4}\tan^2\theta+\frac{3}{4}
より,
\hspace{20}\frac{1}{6}\cdot\frac{3}{x^2-x+1}=\frac{3}{6}\cdot\frac{1}{\frac{3}{4}\tan^2\theta+\frac{3}{4}}=\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{3}\cdot\frac{1}{\tan^2\theta+1}=\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{3}\cdot\frac{1}{\frac{1}{\cos^2\theta}}=\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{3}\cos^2\theta
また,置換 x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\tan\theta より,dx=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{1}{\cos^2\theta}d\theta
より,
\hspace{20}\frac{1}{6}\int\frac{3}{x^2-x+1}dx=\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\int\cos^2\theta\frac{1}{\cos^2\theta}d\theta=\frac{1}{\sqrt{3}}\int1d\theta=\frac{1}{\sqrt{3}}\theta

置換 x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\tan\theta より \tan\theta=\frac{2}{\sqrt{3}}(x-\frac{1}{2})=\frac{2x-1}{\sqrt{3}} だから,\theta=\arctan\frac{2x-1}{\sqrt{3}}

\hspace{20}\frac{1}{6}\int\frac{3}{x^2-x+1}dx=\frac{1}{\sqrt{3}}\theta=\frac{1}{\sqrt{3}}\arctan\frac{2x-1}{\sqrt{3}}

したがって,\frac{x^2+1}{x^3+1} の積分は,
\hspace{20}\frac{2}{3}\log{|x+1|}+\frac{1}{6}\log(x^2-x+1)+\frac{1}{\sqrt{3}}\arctan\frac{2x-1}{\sqrt{3}}

>>積分の記事

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