2008年7月2日水曜日

1/(x^5+1)の積分

最近,1/(x^n+1)の形の積分が検索されるが,n=3(1/(x^3+1)と1/(x^3-1)の積分),n=4,6(1/(x^4+1),1/(x^6+1)の積分)くらいなら因数分解がやさしいので,たいしたことはない.それで,どこかの学校でその手の宿題が出て,検索されるのだろう.


\hspace{20}x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)
\hspace{20}x^4+1=x^4+2x^2+1-2x^2=(x^2+1)^2-(\sqrt{2}x)^2\\\hspace{40}=(x^2+\sqrt{2}x+1)(x^2-\sqrt{2}x+1)
\hspace{20}x^6+1=(x^2+1)(x^4-x^2+1)=(x^2+1)(x^4+2x^2+1-3x^2)\\\hspace{40}=(x^2+1)((x^2+1)^2-(\sqrt{3}x)^2)\\\hspace{40}=(x^2+1)(x^2+\sqrt{3}x+1)(x^2-\sqrt{3}x+1)

x^5+1-1の5乗根,虚根は1の原始10乗根)くらいになると,因数分解自体が面倒になる.
まずは,x^5+1=(x+1)(x^4-x^3+x^2-x+1)となるが,問題は,後ろを2次式の積に直すところ.知っていれば簡単ではある.まず,x^2\ne0で割って,
\hspace{20}x^2-x+1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}
x+\frac{1}{x}=yとおけば,x^2+\frac{1}{x^2}=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-2=y^2-2より,
\hspace{20}x^2-x+1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}=(x^2+\frac{1}{x^2})-(x+\frac{1}{x})+1=(y^2-2)-y+1\\\hspace{20}=y^2-y-1
と2次式になる.この根はy=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}なので,x+\frac{1}{x}=yより,x+\frac{1}{x}=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}x^2-\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}x+1=0より,
\hspace{20}x^5+1=(x+1)(x^4-x^3+x^2-x+1)\\ \hspace{20}=(x+1)(x^2-\frac{1-\sqrt{5}}{2}x+1)(x^2-\frac{1+\sqrt{5}}{2}x+1)
と因数分解できる.

したがって,
\hspace{20}\frac{1}{x^5+1}=\frac{a}{x+1}+\frac{bx+c}{x^2-\frac{1-\sqrt{5}}{2}x+1}+\frac{dx+e}{x^2-\frac{1+\sqrt{5}}{2}x+1}
と部分分数にわけられたとすると,両辺にx^5+1をかけて,
\hspace{20}1=a(x^4-x^3+x^2-x+1)\\\hspace{40}+(bx+c)(x+1)(x^2-\frac{1+\sqrt{5}}{2}x+1)+(dx+e)(x^2-\frac{1-\sqrt{5}}{2}x+1)\\\hspace{20} = (a+b+d)x^4+(-a+\frac{1-\sqrt{5}}{2}b+c+\frac{1+\sqrt{5}}{2}d+e)x^3\\\hspace{40}+(a+\frac{1-\sqrt{5}}{2}b+\frac{1-\sqrt{5}}{2}c+\frac{1+\sqrt{5}}{2}d+\frac{1+\sqrt{5}}{2}e)x^2\\\hspace{40}+(-a+b+\frac{1-\sqrt{5}}{2}c+d+\frac{1+\sqrt{5}}{2}e)x+(a+c+e)
係数比較で,
\hspace{20}a+b+d=0
\hspace{20}-a+\frac{1-\sqrt{5}}{2}b+c+\frac{1+\sqrt{5}}{2}d+e=0
\hspace{20}a+\frac{1-\sqrt{5}}{2}b+\frac{1-\sqrt{5}}{2}c+\frac{1+\sqrt{5}}{2}d+\frac{1+\sqrt{5}}{2}e=0
\hspace{20}-a+b+\frac{1-\sqrt{5}}{2}c+d+\frac{1+\sqrt{5}}{2}e=0
\hspace{20}a+c+e=1
となり,連立方程式を解くと,
\hspace{20}a=\frac{1}{5}b=\frac{-(1-\sqrt{5})}{10}c=\frac{4}{10}d=\frac{-(1+\sqrt{5})}{10}e=\frac{4}{10}
より,次のように部分分数にわけられる.
\hspace{20}\frac{1}{x^5+1}=\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{x+1}+\frac{-(1-\sqrt{5})x+4}{10(x^2-\frac{1-\sqrt{5}}{2}x+1)}+\frac{-(1+\sqrt{5})x+4}{10(x^2-\frac{1+\sqrt{5}}{2}x+1)}

最初の項,\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{x+1}の積分は,\frac{1}{5}\log|x+1|

つづいて,次の項\frac{-(1-\sqrt{5})x+4}{10(x^2-\frac{1-\sqrt{5}}{2}x+1)}の積分.
分母を微分したときxの係数が2なので,それに分子を合わせるため,まず分母分子に\sqrt{5}+1をかけて,xの係数を有理化する..
\hspace{20}\frac{(-(1-\sqrt{5})x+4)(\sqrt{5}+1)}{10(\sqrt{5}+1)(x^2-\frac{1-\sqrt{5}}{2}x+1)}=\frac{4x+4+4\sqrt{5}}{10(\sqrt{5}+1)(x^2-\frac{1-\sqrt{5}}{2}x+1)}\\\hspace{20}=\frac{2x+2+2\sqrt{5}}{5(\sqrt{5}+1)(x^2-\frac{1-\sqrt{5}}{2}x+1)}
分母の微分は,
\hspace{20}2x-\frac{1-\sqrt{5}}{2}
なので,
\hspace{20}\frac{2x+2+2\sqrt{5}}{5(\sqrt{5}+1)(x^2-\frac{1+\sqrt{5}}{2}x+1)}=\frac{(2x-\frac{1-\sqrt{5}}{2})+\frac{5+3\sqrt{5}}{2}}{5(\sqrt{5}+1)(x^2-\frac{1-\sqrt{5}}{2}x+1)}\\ \hspace{20}=\frac{(x^2-\frac{1-\sqrt{5}}{2}x+1)'}{5(\sqrt{5}+1)(x^2-\frac{1-\sqrt{5}}{2}x+1)}+\frac{\frac{5-5\sqrt{5}}{2}}{5(\sqrt{5}+1)(x^2-\frac{1-\sqrt{5}}{2}x+1)}
となる,前半
\hspace{20}\frac{(x^2-\frac{1-\sqrt{5}}{2}x+1)'}{5(\sqrt{5}+1)(x^2-\frac{1-\sqrt{5}}{2}x+1)}
の積分は,
\hspace{20}\frac{1}{5+5\sqrt{5}}\log(x^2-\frac{1-\sqrt{5}}{2}x+1)

つづいて後半,\frac{\frac{5+3\sqrt{5}}{2}}{5(\sqrt{5}+1)(x^2-\frac{1-\sqrt{5}}{2}x+1)}=\frac{5+\sqrt{5}}{20}\cdot\frac{1}{x^2-\frac{1-\sqrt{5}}{2}x+1}の積分.
まず分母を
\hspace{20}x^2-\frac{1-\sqrt{5}}{2}x+1=x^2-2\frac{1-\sqrt{5}}{4}x+1\\\hspace{20}=x^2-2\frac{1-\sqrt{5}}{4}x+(\frac{1-\sqrt{5}}{4})^2-(\frac{1-\sqrt{5}}{4})^2+1\\\hspace{20}=(x-\frac{1-\sqrt{5}}{4})^2+\frac{5+\sqrt{5}}{8}=(x-\frac{1-\sqrt{5}}{4})^2+(\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4})^2
と,平方完成すれば,
\hspace{20}\frac{5+\sqrt{5}}{20}\cdot\frac{1}{x^2-\frac{1-\sqrt{5}}{2}x+1}=\frac{5+\sqrt{5}}{20}\cdot\frac{1}{(x-\frac{1-\sqrt{5}}{4})^2+(\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4})^2}
の積分は,平方の中身を
\hspace{20}x-\frac{1-\sqrt{5}}{4}=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}\tan\theta
と置換することにより分母は,
\hspace{20}(x-\frac{1-\sqrt{5}}{4})^2+(\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4})^2=(\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}\tan\theta)^2-(\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4})^2\\ \hspace{20}=\frac{10+2\sqrt{5}}{16}(\tan^2\theta+1)=\frac{10+2\sqrt{5}}{16}\cdot\frac{1}{\cos^2\theta}
である.また,置換によって,
\hspace{20}dx=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}\frac{1}{\cos^2\theta}d\theta
であるから,
\hspace{20} \frac{5+\sqrt{5}}{20}\int\frac{1}{(x-\frac{1-\sqrt{5}}{4})^2+(\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4})^2}dx \\\hspace{20} =\frac{5+\sqrt{5}}{20}\int\frac{1}{\frac{10+2\sqrt{5}}{16}\cdot\frac{1}{\cos^2\theta}}\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}\frac{1}{\cos^2\theta}d\theta\\\hspace{20} =\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{10}\int 1\, d\theta=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{10}\theta

置換の式,
\hspace{20}x-\frac{1-\sqrt{5}}{4}=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}\tan\theta
より,
\hspace{20} \tan\theta = \frac{4}{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}(x-\frac{1-\sqrt{5}}{4})=\frac{4x-1+\sqrt{5}}{\sqrt{2(5+\sqrt{5})}}
であるから,
\hspace{20}\theta=\arctan\frac{4x-1+\sqrt{5}}{\sqrt{2(5+\sqrt{5})}}
から,
\hspace{20} \frac{5+\sqrt{5}}{20}\int\frac{1}{(x-\frac{1-\sqrt{5}}{4})^2+(\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4})^2}dx=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{10}\theta\\\hspace{20} = \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{10}\arctan\frac{4x-1+\sqrt{5}}{\sqrt{2(5+\sqrt{5})}}

また,
\hspace{20}\frac{-(1+\sqrt{5})x+4}{10(x^2-\frac{1+\sqrt{5}}{2}x+1)}
の積分も同様にして,
\hspace{20}\frac{1}{5-5\sqrt{5}}\log(x^2-\frac{1+\sqrt{5}}{2}x+1)+\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{10}\arctan\frac{4x-1-\sqrt{5}}{\sqrt{2(5-\sqrt{5})}}

よって,
\hspace{20}\int\frac{1}{x^5+1}dx\\\hspace{40} =\frac{1}{5}\log|x+1|\\\hspace{60}+\frac{1}{5+5\sqrt{5}}\log(x^2-\frac{1-\sqrt{5}}{2}x+1)+\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{10}\arctan\frac{4x-1+\sqrt{5}}{\sqrt{2(5+\sqrt{5})}}\\\hspace{60} +\frac{1}{5-5\sqrt{5}}\log(x^2-\frac{1+\sqrt{5}}{2}x+1)+\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{10}\arctan\frac{4x-1-\sqrt{5}}{\sqrt{2(5-\sqrt{5})}}

参考

>>積分の記事

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