2008年6月27日金曜日

積分の質問

コメントで質問を受けた.
質問のコメント

コメントで答えようとおもったけれど,長くなったので記事に.

> 積分の概念って何?

積分は,とりあえず1変数実数値関数の場合(つまり高校数学のレベル)では「微分積分学の基本定理」によって,「微分の反対操作」でいいでしょう.つまり変化率を表す関数がわかっているとき,元の関数を突き止める操作.
たとえば,ある棒状のものが場所によって密度が異なるとき,密度の関数の積分が,棒のある長さの質量になります.
計算だけなら「微分の反対」,意味を考えるならリーマンの定理.どっちも無味乾燥な気がして,結局「微積って何?」となってしまいますねぇ.
円の面積\pi r^2を半径方向に微分すると円周2\pi rとか,容量Cのキャパシタに蓄電された電荷CVクーロンを電圧で積分すると,蓄電されたエネルギー\frac{1}{2}CV^2ジュールとか,世の中いろんなものに,微積の関係はある.

> なぜlogの絶対値?
\log xが定義できるのは,x\gt0のときで,その微分は\frac{1}{x}です.
\log(-x)が定義できるのはx\lt 0のときで,その微分は\frac{1}{-x}(-x)'=\frac{1}{-x}(-1)=\frac{1}{x}です.
ということは,x\gt0のとき\frac{1}{x}の積分は\log x
x\lt 0のとき\frac{1}{x}の積分は\log(-x)
したがって,x\neq 0のとき,\frac{1}{x}の積分は\log|x|

さらに,(\log2x)'=\frac{1}{x}(\log(-7x))'=\frac{1}{x} などとなるので,\frac{1}{x}の積分は\log|kx|かなと思えるけど,
\log2x=\log2+\log x となり,\log 2は原始関数にはつきものの「積分定数」ということで,\frac{1}{x}の積分は\log|x|

1=\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\geq\gt0より,x^2-x+1が0以下になる心配はなく,\log(x^2-x+1)に絶対値はいらない.

> なぜarctan?
\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}のとき,\arctan{\sqrt{3}}=\frac{\pi}{3}と書きます.
x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\tan\theta より \tan\theta=\frac{2}{\sqrt{3}}\left(x-\frac{1}{2}\right)=\frac{2x-1}{\sqrt{3}}
したがって,\thetaのときのタンジェントの値が,\frac{2x-1}{\sqrt{3}}なので,\thetaそのものは,\frac{2x-1}{\sqrt{3}}の逆タンジェントであらわされるのです.

なので
\tan\theta=\frac{2x-1}{\sqrt{3}} より \theta=\arctan\frac{2x-1}{\sqrt{3}}

>>積分の記事

1 件のコメント:

  1. 前半は分かりました。
    あとは棒の長さと円の面積と円周と...電気とあれとこれと。(^-^;)

    勉強します。

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