2008年6月30日月曜日

積分 1/(x^6+1)  だって.ついでに 1/(x^4+1)も書いた

またしても検索語.今度は
>積分 1/(x^6+1)
だって.
最近は,この手の積分がはやっているのか?

\hspace{20}x^6+1=(x^2+1)(x^4-x^2+1)\\ \hspace{20}=(x^2+1)(x^4+2x^2+1-3x^2) = (x^2+1)((x^2+1)^2-(\sqrt{3}x)^2)  \\ \hspace{20}=(x^2+1)(x^2-\sqrt{3}x+1)(x^2+\sqrt{3}x+1)
と因数分解できるから,
\hspace{20}\frac{1}{x^6+1}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{x^2+1}-\frac{1}{6}\cdot\frac{\sqrt{3}x-2}{x^2-\sqrt{3}x+1}+\frac{1}{6}\cdot\frac{\sqrt{3}x+2}{x^2+\sqrt{3}x+1}
と部分分数にわけられて,その積分は,昨日の記事のとおりに計算すれば,
\hspace{20}\frac{1}{3}\arctan x\\ \hspace{40}+\frac{1}{6}\arctan{(2x-\sqrt{3})}-\frac{1}{4\sqrt{3}}\log(x^2-\sqrt{3}x+1)\\ \hspace{40}+\frac{1}{6}\arctan{(2x+\sqrt{3})}+\frac{1}{4\sqrt{3}}\log(x^2+\sqrt{3}x+1)
とちょちょいのちょい.

さらについでに,1/(x^4+1) の積分も,大差ないので,書いてみる.
\hspace{20}x^4+1=x^4+2x^2+1-2x^2=(x^2+1)^2-(\sqrt{2}x)^2\\ \hspace{20}=(x^2-\sqrt{2}x+1)(x^2+\sqrt{2}x+1)
と因数分解できるから,
\hspace{20}\frac{1}{x^4+1}=\frac{1}{2\sqrt{2}}\cdot\frac{x+\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}x+1}-\frac{1}{2\sqrt{2}}\cdot\frac{1-\sqrt{2}}{x-\sqrt{2}x+1}
と部分分数に分けられて,その積分は
\hspace{20}\frac{1}{4\sqrt{2}}\left(2\arctan(\sqrt{2}x+1)+\log(x^2+\sqrt{2}x+1)\right.\\ \hspace{40}\left.+2\arctan(\sqrt{2}x-1)+\log(x^2-\sqrt{2}x+1)\right)

検索した人はこれをコピペして宿題を完成させればいいw


>>積分の記事

5 件のコメント:

  1. 1/(x^4+1)のところの部分分数にわけるところなんですけど、分母の1+√2x+1になるのはなぜですか?

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  2. そのまま写すと,宿題サボってるのがバレますよw
    直して出してください.

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  3. 最後のlog(x^2-x*√2+1)は負になると思うのですがどうでしょうか

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  4. x^2-x*√2+1=(x-√2/2)^2+1/2は負になりません。既に解決済みかと思いますが、これを見た人の参考までに。

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  5. いえ、符号が負になると思ったのですが

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