2008年5月12日月曜日

ハミルトン・ケーリー

先週,自習監督を依頼されたが,数学の授業は大好きなので,
「授業やっていいっすか?」
で,授業.行列,ハミルトン・ケーリーの定理のところである.

説明や演習をした後,この定理の威力とか,行列が工学の分野にどんな使われ方をするかなど,雑談.
人の授業を借りて,自分の数学雑談ができる自習監督は大好き.

さらにこれプリントにしたものを配布.
マニアックな生徒向けの雑談.

教科書の定理の証明は,単なる計算問題レベルで,n=2のハミルトン・ケーリーは教科書や配布プリントの通りだけど,n=3のハミルトン・ケーリーを見せた.「見せるだけ」ってのも結構すき.

\quad \Phi(\lambda) = \det(\lambda E-A)
より,n=3 なら,
\Phi(\lambda) = \left|\lambda\left(\matrix{1&0&0 \cr 0&1&0 \cr 0&0&1}\right) -\left(\matrix{a&b&c \cr d&e&f \cr g&h&i}\right)\right| = \left|\matrix{\lambda-a & -b& -c \cr -d & \lambda-e & -f \cr -g & -h & \lambda-i}\right|

= \lambda^3-(a+e+l)\lambda^2+(a e-b d +a i-c g +e i-f h)\lambda \\ \hspace{60} -(a e i+b f g+c d h-c e g-b d i-a f h)

よって,ハミルトンケーリーの定理は,
\Phi(A) = A^3-(a+e+l)A^2+(a e-b d +a i-c g +e i-f h)A \\ \hspace{60} -(a e i+b f g+c d h-c e g-b d i-a f h)E=O

行列式の形で書けば,
A^3-(a+e+i)A^2+\left(\left|\matrix{a&b \cr d&e}\right| +\left|\matrix{a&c \cr g&i}\right| + \left|\matrix{e&f \cr h&i}\right|\right)A-\left|\matrix{a&b&c \cr d&e&f \cr g&h&i}\right|E=O

さらに,n=4 ならハミルトン・ケーリーの定理は,A=(a_{ij})として,
A^4-(a_{11}+a_{22}+a_{33}+a_{44})A^3 \\ \hspace{30} +\left(\left|\matrix{a_{11}&a_{12} \cr a_{21}&a_{22}}\right| + \left|\matrix{a_{11}&a_{13} \cr a_{31}&a_{33}}\right| + \left|\matrix{a_{11}&a_{14} \cr a_{41}&a_{44}}\right|\right. \\ \hspace{60} \left. + \left|\matrix{a_{22}&a_{23} \cr a_{32}&a_{33}}\right| + \left|\matrix{a_{22}&a_{24} \cr a_{42}&a_{44}}\right| + \left|\matrix{a_{33}&a_{34} \cr a_{43}&a_{44}}\right|\right)A^2 \\ \hspace{30} -\left(\left|\matrix{a_{11}&a_{12}&a_{13} \cr a_{21}&a_{22}&a_{23} \cr a_{31}&a_{32}&a_{33}}\right| + \left|\matrix{a_{11}&a_{12}&a_{14} \cr a_{21}&a_{22}&a_{24} \cr a_{41}&a_{42}&a_{44}}\right|\right. \\ \hspace{60} \left. + \left|\matrix{a_{11}&a_{13}&a_{14} \cr a_{31}&a_{33}&a_{34} \cr a_{41}&a_{43}&a_{44}}\right| +  \left|\matrix{a_{22}&a_{23}&a_{24} \cr a_{32}&a_{33}&a_{34} \cr a_{42}&a_{43}&a_{44}}\right|\right)A \\ \hspace{30}  + \left|\matrix{a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14} \cr a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24} \cr a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34} \cr a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}}\right|E \\  =O

これだけ書けば,規則性も見えるというもの.でも,その規則性を
Aをn次正方行列,\quad \Phi(\lambda) = \det(\lambda E-A)をその固有多項式とするとき\Phi(A) = O

と表現するのが数学


追記「関孝和」

0 件のコメント:

コメントを投稿

「コメントの記入者:」は「匿名」ではなく,「名前/URL」を選んで,なにかニックネームを入れてください.URL は空欄で構いません.