2007年1月31日水曜日

1月は長い

やっと今日で1月が終わる.

なぜか1月は長いと思う.べつに暇なわけではない.忙しさに変わりはない.
特に,ここ2年は3年の期末テストがすぐなので,なんだか急いで授業をやって,さっさとテストをして・・・と忙しいのだが,やはり1月は長いと思う.

不思議だ.

2007年1月30日火曜日

三平方の定理の証明

漠然と100種類以上はあると思っていたが,ギネスブックのウェブサイトによると「520通りの証明法が発見されている」らしい.
The Guinness Book of World Records website, under "Most proofs of Pythagoras's theorem," names someone who, it is claimed, has discovered 520 proofs.
MATH NEWS

ふーん

2007年1月29日月曜日

2007年1月28日日曜日

れんしう

昨日は組合の出張で千葉の教育会館へ.もちろん単車で.
行く前にGB250を満タンにした.
 390.4km ÷ 12.01L = 32.5062448km/L
前回給油はひかえめだったので,その分(1Lくらい)余計に入ったので数字自体はいまいち.

今日は母校で練習.

定期演奏会は
3月31日(土)
松戸森のホール21 小ホール
13時半開場/14時開演
第2部に,OBバンドとOB現役合同合奏
合同合奏の曲は、New Sounds in Brass「ディズニー・ファンティリュージョン!」

練習ではまず合同合奏の「ディズニー」をみんなでやってへとへと.
さて,OBバンドでは何をやるか.
現役が帰った後,残ったOB,(15人くらい?)でいろんな楽譜を引っ張り出して,合わせてみる.

で,夜の部(白木屋)では,OBバンドで何をやるかを残った3人(ツネ,こだくろ,おれ)で相談.
 「吹奏楽オリジナルは,音を出しっぱなしで身が持たない.」
 「ありゃ現役向きに作れれているから」
 「ミュージックエイトシリーズだと楽だし,旋律をパートでまわすから音が切れる心配はないし,いいよね.」
 「ガッチャマンとかあられちゃんとか」
 「知ってる人いるかな」
 「まぁ保護者向けということで」
 「大河(ドラマ)のテーマは?」
 「数年前のマツケンに匹敵する曲があればいいのだが.」
というような話をするが,結局,現在吹奏楽には携わっていないシロート3人の相談ではどうしようもならぬ.まぁ楽ちんなM8だなという結論.

2007年1月27日土曜日

十六雑穀

ご飯と一緒に炊く十六雑穀なるもののサンプルをもらったので,ためしに炊いてみる.
なんと,ご飯が赤いというか紫色というか.
健康にはいいのだろうが,興味は無い.
味や触感もまずいわけでは無いが,「健康によい」と思って食べなければならぬな.

やはり光り輝く銀シャリがいい.

2007年1月26日金曜日

新幹線の加速度

新幹線は最高速こそすごいけど,加速はとろいかも.

新幹線500系がゼロヨンしたらタイムはどれぐらいかなー

wikipedieaによれば起動加速度は
1.6km/h/s
つまり 0.4444444m/s/s =0.045 G の加速度しかない.

加速度aで t秒加速したときの移動距離は
\frac{1}{2}at^2
なので,移動距離400mとして逆算してみる.


0.5×0.4444444×t^2=400
を解くと,t=42.4264秒
42秒もかかり,そのときの速さは
at=0.4444×42.4=18.86m/s
つまり時速68キロ.こんなもんだ.

でもそのまま一直線に300km/hまで加速し続けるのだな.
実際は空気抵抗で加速は鈍るが,自動車のようにトルクを減して車輪の回転数を上げるギアチェンジが無いので,極端に鈍ったりはしない.
モータートルクは速度0でも300km/hでも一定のはず.
空気抵抗を考えなければ,300km/hまで3分7秒という計算になった.実際は300km/hまで4分程度のようだが.

また,インバーター制御の交流モーターなので,直流モーターのような逆起電力によるトルク減は原理的にないと思う.

東京メトロの主な車両の起動加速度は3.3km/h/sで新幹線の2倍以上.たしかに発車時の加速は「ぐぐっ!」とくる.駅間が短いので悠長に加速していられないわけだ.
これでも抵抗を考えないゼロヨンは30秒.まぁ,電車が乗用車並みの加速をしたら,立っている乗客は床を転がってしまうからこれが限度だろう.

2007年1月25日木曜日

テスト問題完成

明日のテストだからな.

ちょっとギャグを入れた.気づくかな.
このギャグは本当は授業中に使ったら面白かったのだが,思いついたときは数日前.
ギャグが使える授業は先週に終わってしまっていたので,テスト問題に反映.

2007年1月24日水曜日

正多面体,どれが丸い?

つまり球に近い正多面体はどれか?
という問題.

正四面体,立方体,正八面体,正12面体,正20面体のなかで,面の数から言えば正20面体がいちばん丸い(球に近い)という気がする.

球に内接する多面体を考え,体積が一番大きいのが球に近い(丸い)と考えると,実は正12面体が一番体積が大きく,丸いといえる.
球に内接する場合は,頂点で球に接する.
頂点の数で言えば,正12面体が頂点20,正20面体が頂点12.つまりたくさんの頂点で球の中に出っ張って接する正12面体が一番体積が大きい.
その意味で,出っ張りの多い正12面体が一番「丸い」

しかし球に外接する多面体を考え,一番小さい体積のものが球に近い(丸い)とすると,逆転する.
球に外接する場合は,面が球に接するので,接する面が一番多い正20面体が一番体積が小さくなる.
その意味で,出っ張りの少ない正20面体が一番「丸い」

さて,どっちの「丸い」を取るべきか・・・

2007年1月23日火曜日

メール実習

情報の授業の最後はメール実習.

これ自体は「情報A」の内容なのだが,情報の授業で一度もそれを扱わないのはどうかと最後に持ってきた.

県のサーバでも,生徒の実習用にアカウントを発行してくれるらしいが,まぁはっきりいって使いづらい.
いわく「申請」だの「許可」だのの世界になる.

ということで,Gmail のアカウントを皆で取得して実習.

そして,「諸君のケータイメールの常識では,社会で恥をかくぞ」ということで,
ネチケットガイドラインを元に作成した教材で,マナーなど.

ケータイメールで気づくことは
1.件名を書かないor 意味不明の件名で,件名一覧で何のメールかわからん.
2.誰が送ったメールなのかアドレスを注意深く確認しなければわからん.
3.見えない絵文字

普通のメールでも,初心者が陥りやすいことに
4.To Cc のでたらめな使い方.
5.勝手に添付(ウィルスかどうかを確認が必要)
6.巨大な添付(メールのダウンロードに数分)
初心者は「ファイルサイズ」という概念が無いから,誰かが教えてあげなければならない.

他のマナーとして,
文頭に「○○さんへ.くろべえ です」と明記することとか,
To,Cc,Bcc の使い分けとか,
30文字程度で改行を入れることとか,
返信の引用は必要な部分にとどめて全文を引用しないとか,
間違ってMLに私信を投げないとか.

以前,MLに投稿した文に返信したと思われる私信が,MLに流れたことがあった.

2007年1月22日月曜日

公開鍵暗号(RSA)をわかる4

続き) 安全性について(ばれない?)

前回は法(割る数)33 の世界であった.

「元に戻る」だけなら,「法11」(11で割った余り)でもOKである.
「法11」で元に戻る累乗は 11-1=10 の倍数に1を足した
11,21,31,41,51乗・・・
であるから,この場合
21乗 = 3×7乗 = 3乗の7乗
で,暗号化 3乗,復号に 7乗などとできる.
実際,11未満の整数
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10
は「法11で3乗」により
0,1,8,5,9,4,7,2,6,3,10
と入れ替わり,7乗で元に戻る.

しかし,「法11で3乗」を公開すると,「元に戻る累乗は 11-1=10 の倍数に1を足したもの」とばれる.
これは「法」をどんなに大きな素数にしても,簡単に計算できてしまうのである.

たとえば「法179424673」の場合,1794246725乗で元に戻るのが見つかり,5乗と358849345乗などがペアになるが(他にも多数の組み合わせはある),「法179424673で5乗」を公開すると,上記の計算方法でペアの累乗が簡単に見つかる.



そこで,RSA では,「法を巨大素数の積」とした.
前回の「法33」では,数字が小さいのでばれてしまう.また数字が大きくても,ひとつの素数では簡単にばれてしまう.
法を2つの巨大素数の積にすればばれないのである.

法33くらいだと,電卓の手作業でばれてしまう.その手順は
1.法33を素因数分解で 3×11 にする.
2.3-1=2 と 11-1=10 の最小公倍数 10 の倍数に1を足した 11,21,31,41,51乗で元に戻る.
3.3乗で暗号化したなら,7乗や17乗で戻るに違いない.

では,法4028033ならどうか.これは29乗を暗号化とする.復号するためにもうひとつの累乗を見つけるには,
1.法4028033を素因数分解で □×△ にする.
これは電卓で手作業では挫折する.素因数分解を効率的に行う方法は見つかっていないからである.地道に割るしかない.
基本的に5の倍数でない奇数で割っていくしかなく,1秒に1回割り算したとしても15分くらいはかかり,たいてい挫折する.
もちろんコンピュータを使えば,すぐにできるが.

しかし暗号鍵,復号鍵を作成するのは電卓で可能である.
素数とわかってる2つの数 2003,2011 を使って,法 2003×2011=4028033 を生成する.
2003-1=2002,2011-1=2010 の積は 4024020.
これを最大公約数で割れば,最小公倍数になる.
2数の最大公約数はユークリッドの互除法
2010-2002=8
2002-8×250=2
8-2×4=0
より最大公約数は2.これで最小公倍数は 4024020÷2=2012010.
これの倍数に1を足した
2012011,2024021,6036031,4048041乗
で元に戻る.これらを小さい素数で割ると,
6036031÷29=208139
が見つかるから,「法4024020で29乗」を暗号化として公開する.
自分に来た通信は「208139乗」で元に戻るが,秘密にしておけば,誰にもばれないというわけである.
累乗の計算はやはり数字が循環しているので,コンピュータを使えば一瞬である.さらに,「累乗の逆算はできない」ことから,暗号化の累乗から復号されることはない.
くろべえ「互除法」関連の記事

実際のRSA では10進数で600桁以上の「法」を用いる.
つまり300桁程度の2つの素数の積になっている.600桁以上というのは実際は1024ビットの2つの素数の積で,2進数2048桁ということである.つまり2進1024桁の2つの素数の積を用いている.
2進1024桁の整数 8.9×10^307個,ざっと10^308個のうち,素数は1.26×10^305個,ざっと 10^305個,つまりその付近では1000個に1個くらいの割合であるから,枯渇する心配は無い.そして2進2048桁(10進617桁)を素因数分解するには「一生かけてもおわらない.」
また,10^305個の素数を全部調べ上げるには,1秒に1兆個調べても,10^277年(=1兆年の1兆倍の1兆倍の1兆倍の・・・23回繰り返し)くらいかかるから不可能.
将来コンピュータの性能が1兆倍になれば,さらに桁数を増やすだけでよい.

では,そんな桁数の暗号化(累乗)は簡単にできるかという問題があるが,授業中に600桁以上の計算を実演した.パソコンでも専用のソフトがあれば,一瞬にできてしまう.
その部分をブラウザに実装したのが,「SSL」通信(画面右下に出る鍵マーク)である.

授業では Mathematicaを用いて実演した.
まず,
898846567431157953864652595394512366808988489471153286367150
405788663379027504815663542386612037680105600569399356966788
293948844072083112464237153197370621888839467124327426381511
098006230470597265414760425028844190753411712314407369565552
704136185816752553422931491199736229692398581524176781648121
12244609  (308桁)

179769313486231590772930519078902473361797697894230657273430
081157732675805500963132708477322407536021120113879871393357
658789768814416622492847430639474124377767893424865485276302
219601246094119453082952085005768838150682342462881473913110
540827237163350510684586298239947245938479716304835356329624
224079161  (309桁)
という2つの素数を用意.
Table[{n, PrimeQ[2^1023 + 174801 + 2 n]}, {n, 1, 1000}]
のような感じで探す.174801 はテキトーな奇数.n=600 で,308桁のほうの素数である.
これを見つけるには10秒少々かかった.しかし,これ以降の計算はどれも「一瞬」だった.

法はそれらをかけた617桁の
161585030356555036503574383443349759802220513348577420160651
727137623275694339454465986007057614567318443589804609490097
470597795752454605475440761932241415603154386836504980458750
988751948260533980288191920337841383961093213098780809190471
692380852352908229260181525214437879457705329043037761995619
652191822823623634928776756461332363549533876020394753726678
055149358656889405961500351422045210412960839584600291251374
625805429372624218122889047136958973668628514830471218228103
614668511146062797271725265295559237153014623098941448096252
763146554666598954680831687609191712092101784510604028160214
38831425811493049
である.これの素因数分解は一生かけてもできないが,暗号化と復号の累乗はすぐ計算される.

3乗で暗号化した場合,
673270959818979318764893264347290665842585472285739250669382
196406763648726414393608275029406727363826848290852539542072
794157482301894189481003174717672565013143278485437418578129
119799784418891584534133001407672433171221721244920038293632
051586884803784288584089688393491164407105537679324008315081
884132583862849719313762061947394072358319898305955355471742
483532947664680899268407654062727430221353027267847873096568
978771102044907024610998790601031308652152704849803403563005
564683241050183774416389454380324841943675211827942963137627
726874568975793321794058447251655160387054564305867848282016
847374561465387乗
で復号である.

SSL通信は「法」と3乗を相手のブラウザに送り込んで,自動的に通信を暗号化している.これは2048ビットは256バイトであるから,伝えること自体は手軽である.

授業では
111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
111111
を3乗して
160540538001045163848704088231807804776018099926061080277542
645903469098065256577289644843016930657526240951465096849736
221916508454598412684458291636374288523458933953642127937934
853209649744354424270373957044955871278082196348676976669555
531495324083566500704856802178974375075961170532597821964123
295254293539411556851552353739744414503311688790990016011854
273509228084716592233268240760753742692370893335064909384399
906920680501185789453623160035937659357322423897329084689182
368762611363083424098082000448511773994573190898556461165647
036693799861484930248304327378957321678059597331749450921621
88335349515110955
を計算するのも一瞬だったし,これを復号する累乗の計算も一瞬だった.
つまり暗号化も復号も,自分のセレロン1.5GHzのパソコンで,時間を意識することが無かった.まぁ時間がかかるなら,ネットの通信には使えないのだけれど.

これを,復号の累乗して,111・・・11と戻るのは,わかっていても見ごたえがあるものである.

「一十百千万億兆・・・と桁数の読み方はあるが,それ以上知ってる?」
といわれて
「不可思議とか無量大数とかあるよ」
となんとなく覚えていても,途中は知らない.覚えても意味はないし.
塵劫記にある一番大きな単位,無量大数でも70桁くらいしかない.
インターネットのSSL通信(鍵マークの通信)では,見えないところで,その10倍くらいの桁数の計算が使われている.「無量大数」なんて,微々々・・・々たる物である.

(おわり)

2007年1月21日日曜日

公開鍵暗号(RSA)をわかる3

続き

前回まで7で割った余りを考えていたが,暗号で使うには7ではなく,「2つの素数の積」で割った余りの世界を考える.
つまり 10=2×5 とか 15=3×5 とか.
ところが,実際に RSA を考えると,33=3×11 程度に大きくしないと実験ができない.

ここからは 33 で割った余りで考える.33で割った余りなので,余りの種類は,
 0,1,2,3,…,31,32
の33種類である.これらの累乗を考える.

たとえば 25の累乗.
 25^2 = 25×25 = 625 = 31
 25^3 = 25^2×25 = 31×25 = 775 = 16
 25^4 = 25^3×25 = 16×25 = 400 = 4
 25^5 = 25^4×25 = 4×25 = 100 = 1
 25^6 = 25^5×25 = 1×25 = 25
と25に戻る.これによって,巨大な指数も瞬時に計算できるのであった.
 25^2007 = 25^2005×25^2 = 25^(5×401)×31 = (25^5)^401×31 = 1^401×31 = 1×31 = 31

どの数も,自分自身に戻る累乗がある.これが暗号を元に戻す「復号」の原理になる.

他の数の累乗も,31乗までエクセルで計算して表にした.>pdf

一覧表を見ると,なんだかでたらめな数の羅列に見える.これを暗号化に使うわけだが,よく見ると一定の規則で繰り返している.
さらに 11乗,21乗,31乗 ではどの数も自分自身に戻っている.

何乗で元に戻るかは,計算で突き止められることが300年前(フェルマー)にわかっていた.
具体的にはこうなる.
「33で割った余り」の場合は,33 = 3×11 と素因数分解される.
3-1=2 と 11-1=10 の最小公倍数 10 の倍数,10,20,30,40,50,…
に1を足した,
 11,21,31,41,51,61,71,81,91乗… 
で元に戻る.
300年前フェルマーは,よもやこれが暗号に使うとは思いもしなかったろう.

「元に戻る累乗」の中で,暗号化と復号に使えるのは,
 (25^a)^b=25^(a×b)
となるものである.
つまり累乗が「a×b」とでき,2回の累乗に直せるもの.
たとえば,
 (25^3)^7=25^(3×7)=25^21
は2回の累乗(3乗と7乗)で元に戻るから暗号化に使えるが,25^11 は2回の累乗に分けられないので使えない.

実際は「3乗で暗号化,7乗で復号」のように使う.
 25^3=16
が暗号化,これを復号するのが7乗
 16^7=25

これによって,「暗号化と復号の方法が違う」という状態が作られる.
それも「累乗は元に戻せない」(前回)から,暗号化の方法だけを知っていても,戻す方法だけ秘密にしておけば,だれも解読できない.
つまり暗号化の方法を公開できる公開鍵暗号の完成である.

コンピュータ内部では文字も映像も音声もすべて整数(コード)で表現されている.
その数
 0,1,2,3,4,5,6,…
を3乗すると
 0,1,8,27,26,18,…
と予測もつかないようなコードに変換される.
しかしこれを7乗すると
 0,1,2,3,4,5,6,…
に復号されるというわけである.

これが公開鍵暗号RSAの「原理」である.
実際は「33」は数字が小さいので,暗号化「法33で3乗」から「法33で7乗で復号」がばれてしまう.

つづく

2007年1月20日土曜日

犬吠崎

昨日の続き

昨夜は1時過ぎまで起きていたのに,やはり6時に目覚めてしまう.
帰るだけだからだらだらしていいのに.

相部屋のO橋さんは,父親参観で5時ごろに帰宅したようだ.
7時ごろ風呂に入りだらだら準備.

浜寿司のおかげで,まだ腹いっぱいだ.

8時半チェックアウトして,9時前に走り出す.
「ぬれせん」でも買おうかと思うが,まだ店が開いていない.
犬吠崎へ行ってみることにする.

君ヶ浜から.雲が厚い.
君ヶ浜

着いた.
灯台
犬吠

付近を散策.君ヶ浜.
君ヶ浜

銚子電鉄でも見に(乗れよ).

君ヶ浜駅
君ヶ浜駅

犬吠駅にはちょっとした駐車スペースがある.
犬吠駅

ちょうど電車が来た.
銚子電鉄
これを撮ったら,電池切れ.前日充電しておくのを忘れた.

10時を過ぎたので,「ぬれせんべい」を買いに戻る.
店の中のお茶コーナーで一服していたら,焼きたてのぬれせんべいをもらった.

あとは帰るだけ.
R126 を走り,旭市で右折し,広域農道へ.こちらは周りが田んぼで信号が少なく走りやすい.15kmほど走るとR296に突き当たり,すぐ多古町へ入る.

弱い雪が降り始めた.

道の駅「多古」で休憩し,合羽を着ることにした.
休憩中,雪が雨になり,路面がぬれ始めた.
路面がうっすらぬれる程度だが,最も滑りやすい状態である.

しかし成田を過ぎたら,路面は乾いていた.やはり海に近いところが降水ということか.雨がやんだら,北風で冷え込んできた.

酒々井から山田橋を目指し,北総線沿いのR464から帰宅.13時到着.

2007年1月19日金曜日

佐原→銚子

数学の出張で佐原まで.佐原は香取市にある.

60km くらいあるので,XJRで行こうかなと思っていたが,寝坊したのでコンテナから出す時間が無い.
GB250 で出発.XJRにはハンドルカバーが無いからGB250でよかったかも.
と思ったが,氷点下にならなければ大差ない.

前日調べたのルートマップでは木下街道を通り,白井から北総線沿いに東へ.
そして,印西からR356を利根川沿いにひたすら走る.
スーパー堤防は眺めがよくていい気持ちだった.

夜の防寒装備で走っていたら,日が当たって暑かった.
1時間半で到着.



仕事を終え,夜は,皆で銚子のすし屋で飲み会後,銚子泊.
銚子へ向け出発.距離は40km.
君津から来た人が,
「ここから銚子は近いの?」
なんて無邪気に聞いていたが,とんでもない.君津からなら千葉市へ行くくらい遠いといったら,びっくりしていた.
そこまでして,わざわざ銚子の「浜寿司」へ行きたいのだ.

3年前,館山市のとき,その前年の浜寿司の話題ばかり,2年前の佐原のときは佐原のうなぎだったが,やはり話題は浜寿司.
昨年実現して,「今年はどうしようか」というところで,
「今年は新メンバーが2名いる.きっと浜寿司の話題になるだろうから,新メンバーのために2年連続だが,浜寿司にしよう」
と強く押した.
どんなにうまいところに行ってもきっと話題は浜寿司だろうし,そればかり聞かされる新メンバーは気の毒だ.(2,3年前の自分の状態)

車はそれぞれ向かう.
10人中便乗者が4人いから,自分の単車を含めて,6台ということか.目的地のホテルの地図をもらって,ホテルロビー集合ということで各自出発.

防寒装備をしていたら,出発が皆より5分くらい遅れてしまった.日が落ちたので,ただひたすら走るだけだ.金曜の6時代,車が多い.
いつの間にか渋滞などで追い越してしまったらしく,1番に到着.

ホテルを手配した銚子市内の先生が,すでにロビーで待っていた.
程なく全員集まり,駅前からタクシーで,川口町の浜寿司へ.

いやー,いつ来ても,「来てよかった」と幸せになれる店だ.

つづく


ツーリング記録一覧

2007年1月18日木曜日

公開鍵暗号(RSA)をわかる2

続き
割り算の余りの世界は四則計算が自由に行える世界であったが,累乗でパワー炸裂.
暗号化には累乗の計算をする.

たとえば,昨日の
 0= 7=14=21=28=35=42=49=56=63=70=77=…
 1= 8=15=22=29=36=43=50=57=64=71=78=…
 2= 9=16=23=30=37=44=51=58=65=72=79=…
 3=10=17=24=31=38=45=52=59=66=73=80=…
 4=11=18=25=32=39=46=53=60=67=74=81=…
 5=12=19=26=33=40=47=54=61=68=75=82=…
 6=13=20=27=34=41=48=55=62=69=76=83=…
の世界で,
 4^2 = 4×4 = 16 = 2
 4^3 = 4^2×4 = 2×4 = 8 = 1   ← 4^2=2 を使う.
 4^4 = 4^3×4 = 1×4 = 4     ← 4^3=1 を使う.
 4^5 = 4^3×4^2 = 1×2 = 2    ← 4^3=1 と 4^2=2 を使う.
 4^6 = 4^3×4^3 = 1×1 = 1    ← 4^3=1 を使う.
4^6 をまともに計算すると,4096 だが,そんな大きな計算をするまでも無く,「7で割った余りが 1」といえる.
つまり,今日(木曜日)の 4^6=4096 日目は「金曜日」といえる.(1余るから)

(4^3)^5 = 4^3×4^3×4^3×4^3×4^3 = 4^15 = 4^(3×5) という性質と,今求めた4^3=1 を使うと,もっと巨大な指数でも
 4^2007 = 4^(3×669) = (4^3)^669 = 1^669 = 1
4^2007 をまともに計算すると,1209桁の巨大数だが,それを計算するまでも無く,「7で割った余りが 1」といえる.
つまり,「累乗でパワー炸裂」

7で割った余り 0,1,2,3,4,5,6 の累乗はこうなる.
0 や 1 は何乗してもかわらない.

 2^1 = 2
 2^2 = 4
 2^3 = 4×2 = 8 = 1
この先,2,4,1 の繰り返し.

 3^1 = 3
 3^2 = 9 = 2
 3^3 = 3^2×3 = 2×3 = 6
 3^4 = 3^3×3 = 6×3 = 18 = 4
 3^5 = 3^4×3 = 4×3 = 12 = 5
 3^6 = 3^5×3 = 5×3 = 15 = 1
この先,3,2,6,4,5,1 の繰り返し.

 4^1 = 4
 4^2 = 16 = 2
 4^3 = 4^2×4 = 2×4 = 8 = 1
この先,4,2,1 の繰り返し.

 5^1 = 5
 5^2 = 25 = 4
 5^3 = 5^2×5 = 4×5 = 20 = 6
 5^4 = 5^3×5 = 6×5 = 30 = 2
 5^5 = 5^4×5 = 2×5 = 10 = 3
 5^6 = 5^5×5 = 3×5 = 15 = 1
この先,5,4,6,2,3,1 の繰り返し.

 6^1 = 6
 6^2 = 36 = 1
この先,6,1 の繰り返し.

どれも累乗の計算では,同じ数字の繰り返しになる.
同じ数字の繰り返しになるから,累乗の計算はきわめて高速に実現する.
たとえば
 5^1000000 = 5^999996×5^4 = (5^6)^1165×2 = 1^1165×2 = 1×2 = 2

さて,7で割った余りの累乗の周期は,
 1, 2, 3, 6
の4通りあるが,
すべての数が元に戻るのは,周期が6の
 7乗,13乗,19乗,25乗,31乗,37乗,43乗,49乗,55乗,・・・
である.
この「元に戻る」性質を暗号と復号に使う.

RSA は Rivest Shamir Adleman 3人の頭文字だが,これを暗号に使うことを思いついたのはすごいなー

さて,暗号化には「累乗」を使うのだが,解読されない理由は
 「累乗の逆算ができない」
ことによる.確実に「元に戻す」には累乗を繰り返すしかないのだ.

たとえば,3乗で暗号化したとする.
ある数を3乗で暗号化したら,「6」になったとして,そのある数はなんだろうか.
上の計算表を見ると,
 3^3 = 6
 5^3 = 6
の2通りあって,決まらない.つまり
 「何を3乗して6になったのか確定しない」
のである.

古典的な暗号化では
 「暗号化の逆操作が復号」
なのだが,公開鍵暗号のポイントがこの
 「逆操作が不可能」
な点といえる.

つづく

2007年1月17日水曜日

公開鍵暗号(RSA)をわかる1

授業でいかに理解してもらうか,いろいろと模索.
理解というより,感じてもらうのが目標.

専門家になるわけじゃなし,理解したところで何の役に立つわけではない.でも
「世の中のちょっと複雑なもののしくみがわかったらうれしいよね.」

ということで,まずは modulo の説明.(modulo(法)なんて言葉は使わない)
理屈は説明しない.感じてもらうのが目標,理解は目指さない.

 0= 7=14=21=28=35=42=49=56=63=70=77=…
 1= 8=15=22=29=36=43=50=57=64=71=78=…
 2= 9=16=23=30=37=44=51=58=65=72=79=…
 3=10=17=24=31=38=45=52=59=66=73=80=…
 4=11=18=25=32=39=46=53=60=67=74=81=…
 5=12=19=26=33=40=47=54=61=68=75=82=…
 6=13=20=27=34=41=48=55=62=69=76=83=…

本当は負の数まで広がるのだが,文字コードの暗号化なので正の数だけで知らんぷりしていい.

さて,
横に = でつながっている数の加減乗は一番左の 0,1,2,3,4,5,6 の加減乗と同じ.

例,
55+24=79=2
だが,55=6,24=3 より
55+24=6+3=9=2 としていい.

55-24=31=3
だが,55-24=6-3=3 としていい.

「引き算が逆だったら?」
24-55=3-6 ここで3=10だから
=10-6=4
とにかく 0,1,2,3,4,5,6 に矛盾無く収めれることができる.

55×24 はでかいので,暗算をやる気は無いけど,この流れで,
=6×3=18=3
と実際に一致してくれるのでうれしい.

たとえば,
70020=6
14000053=1400049+4=4
を使えば,70020×14000053 など頭がクラクラする計算をすることなく,
70020×14000053 = 6×4 = 24 = 3

割り算は説明しなかった.使わないし面倒なので無視!
が,説明するとこうなる.

割り算は整数の割り算が反映するものにはならない.
普通の整数なら 17÷5=3余り2,あるいは3.4だが,これを反映することはできない.

割り算は掛け算の逆算である.
12÷3をやるとき,掛け算の九九「さんしじゅうに」と発声することからも明らか.
12÷3=4 の根拠は 12=3×4 である.

17=3 なので
 17÷5=3÷5
でもある.
 3÷5=A
とおくと,その根拠となる掛け算は
 3=5×A
となる.
これを満たす 0~6の数を調べると.
 5×1=5
 5×2=10=3
 5×3=15=1
 5×4=20=6
 5×5=25=4
 5×6=30=2
より A=2 である.つまり 3÷5=2 と「定義」する.
他の 0~6同士の割り算も,すべて乗法の逆算の形で作り出して「定義」できる.
(ここでも0で割る計算は「定義できない」)

これで加減乗除の定義された有限集合
 {0,1,2,3,4,5,6}
ができたわけだが,RSA暗号にはとりあえず不要なので,全く触れず,
「割り算は常識通りにうまくいかない」
とごまかした.
ここまで書くと,いろいろ代数系の言葉や理論が頭をめぐるが,触れるわけにはいかない.
あくまでも理解を目指すものではなく「雰囲気を感じてもらう」

つづく

2007年1月16日火曜日

エクセルで最小公倍数

エクセルで最小公倍数(Least Common Multiple)を求める関数は
 =LCM(数値,数値)
らしいが,メニューバーから
 「ツール→アドイン」で「分析ツール」にチェック
で使えるようだ.

ふ~ん

最小公倍数で思い出す言葉が,最大公約数.
GCM(Greatest Common Measure)なので,
 =GCM(数値,数値)
としたらダメ.
そういえば,大学のゼミで使った教科書には GCD(Greatest Common Divisor)とあったのを思い出して,
 =GCD(数値,数値)
としてみたら命中した.

エクセルはいまいちパワーに欠けるし,繰り替えし計算では誤差の蓄積がいろいろ面倒なので使うのは怖いが,小さい数字の一覧表くらいの実験には使いやすい.

2007年1月15日月曜日

笛吹けど踊らず

以前,文科省の人の話で,
 「指導要領が変わっても,教員はつねに前の指導要領のスタイルで授業をしようとする.」
というのがあった.つまり新指導要領の理念が教員に伝わるには時間がかかるというもの.
3年くらいはかかるような印象がある.

数学が I,II,III,A,B,C などと分かれたとき,指導要領では
 「A,B,Cは生徒の実態に合わせて内容を選べる」
とした.かなり易しい内容もあるが,ほとんどの学校で進学に必要な内容を選んでいる.分数の計算もおぼつかないような学校でもである.
それは,「高校の数学なのだから」という教師の親切心の表れでもあるし,「自分の学校が教育困難校のままでいるわけにはいかない」との気持ちもある.
でもまぁ
 「以前の教育課程どおりに新カリキュラムを組んだ」
というのがわかりやすいだろう.
教師も人間,できることしかできない.
どんなに理念が高くても,新しいことにはおいそれと踏み込めないものだ.
勢い,「いままでの内容にもっとも近いカリキュラム」となる.


自分はどちらかというと,そういったものを伝える側の仕事が多かったが,どんなに理念が高尚でも,現場の教員が実現しなければ,絵に描いた餅.

「ゆとり教育」の理念は高かったなー.でもこれは,教員も子供も楽をしすぎてしまって,いまや逆風が吹き荒れている.
さらに,その「ゆとり」を使って,一部の進学校では未履修を作ってまでの受験指導に至った.

「人を動かすのは制度ではない.感動である.」
なんて誰が言ったか知らぬが,多忙を極める教員にとって,制度が猫の目のように変わる昨今,「今までのやり方を通す」のが一番無難である.

ということで,教育再生会議でまたいろいろ制度をいじくりそうである.
まぁ,それが彼らの仕事.
 「検討の結果,現状のままが最高である.」
などと結論を出すわけには行かない.

彼らは自分で教壇に立つわけには行かないので,いじくるのは制度しかない.
つまり新制度の笛を高らかに吹く.

その笛が感動できれば,多くの教師が踊るだろうが,たぶん
 「笛吹けど踊らず」
だな.たぶん,新しい制度の中で,
 「今までのやり方に最も近い方法を模索」
だろう.学校は一人で動くものではない.組織である.
となると「全体にとってもっとも無難な線」となるに決まっている.
その線はやはり「今までのやり方に最も近い方法」だろうねぇ.

でもこれからは踊らぬ教師は
 「指導力不足でクビ」
だ.あはは.

あ.おれは要領がいいので,すぐ踊るよ.
こんなにマジメに情報Bの授業をやっている学校は珍しいと思う.

今週は暗号化.
RSA暗号をばっちり解説!
・・・とか言いながら,面倒な教科だよ.なくなるといいなぁ

2007年1月14日日曜日

冬季通勤仕様

ついにGB250 にハンドルカバーをつけた.
これをつけると,日中は手袋不要.朝でも軍手ぐらいで大丈夫.

毎日の通勤は短距離なので,特に必要性は感じなかったが,今週末,佐原に出張なので,雨じゃなければ単車で行こうかなと思う.ちょっと距離があるので,ハンドルカバーをつけようと思った.

ついでに給油.前回は12/11なので1ヶ月ぶり.冬休みは全く乗らなかったからな.

 421.4km を 11.99L = 35.145955 km/L
 土日は3円引きの116円/L で 1,391円
ガソリン屋のお兄さんはちょっと控えめに入れてくれた.あと1リッターくらいは入りそう.もっと入れてもらおうとも思ったけれど,まぁいいや.
1リッター余計に入れて
 421.4km を 12.99L = 32.4403387 km/L
としてもけっこういい.
次回の給油で,口元まで入れたら30km/L切るかも.

そしてタイヤのエアチェック.

さて,帰り道,やっとダイソーに腕時計を見に行ったが,SR626SWのボタン電池は売っていなかった.しょうがないので 525円の腕時計を買った.電池の定価より時計本体のほうが安い.
ネットで探すと5個で525円とかあるけど,同じ値段の時計でいいや.

時計の説明書には「電池はテスト用なので長持ちしません」なんて書いてある.525円の時計なら,「電池切れ=買い替え」だ.
くろべえ


追記:ダイソー六高台店でSR626をゲット.すべての電池切れ時計が復活.>>くろべえ : 時計3個復活
>>GB250 クラブマン日記

2007年1月13日土曜日

検索結果の表示がいまいち

xoops の検索結果の表示がいまいち.
5件しか表示されない.

その下に「すべて表示」のリンクがあることを気づくのに数週間かかった.

たくさん表示されるように設定できないのかなと,いろいろ探したが見つからない.
ということで,表示部分をわかりやすく書き換えることであきらめることにした.


 /language/japanese/search.php

 define('_SR_SEARCHRESULTS','検索結果');
の行を
 define('_SR_SEARCHRESULTS','検索結果(最新5件のタイトル一覧)');
と書き換え,
 define('_SR_SHOWALLR','すべて表示');
の行を
 define('_SR_SHOWALLR','以上は最新5件のみ.6件目以降もすべて表示');
と書き換えた

2007年1月12日金曜日

お香の二酸化炭素

微々たる量だが,締め切った部屋での換気の頻度はどれくらいだろうか.

たとえばファンヒーターなどは1時間に1回程度は換気するようになっている.
機種によって違うだろうが,ファンヒーターはの熱量は4kWくらいだろうか.

4kWは1秒で4000ジュールの熱量である.
1時間=3600秒では 14,400,000 ジュールとなる.

1キロカロリー = 4184 ジュール
だから
14400000 ジュール=3441.6826 キロカロリー

つまり,4kWの暖房を1時間使うと 3441 キロカロリー の熱を出す.
そして,これだけ燃やせば酸欠が心配で換気しろということと考えて,お香を燃やす量を考える.

お香は,セルロースが燃えている.セルロースは炭水化物と同じなので,1グラム4キロカロリーである.換気しなければならない 3441キロカロリー の熱量に達するには
 3441÷4=860グラム
も燃やさなければならない.こんなに燃やしたら煙たい.
酸欠の換気以前に,煙の換気が必要になる.

アロマキャンドルなどろうそくはどうだろう.
ろうそくは油脂が燃えている.
油脂の熱量はだいたい1グラムあたり9キロカロリーかな.
3441 キロカロリーに達するろうそくの量は
 3441÷9=382グラム
となる.ろうそく何本分だろうか.

いずれにしても「暖房に使える量」を燃やしたら1時間に1度は換気しなければならぬわけだが,お香やキャンドルを暖房に使うことなどありえないから,一晩中換気の必要はないだろう.

2007年1月11日木曜日

正多面体が5種類である理由 その2

正多面体は5種類の理由を,もう少しすっきりと書けば,

m角形の内角の和は
(m-2)\pi
なので,内角の大きさは
\frac{m-2}{m}\pi

多面体の1つの頂点に正m角形がn個集まっているときの角度の合計は
n\times\frac{m-2}{m}\pi
これが2\pi以上になると立体にならないので,

2007年1月10日水曜日

半田付け

コンピュータ室の更新はパソコンだけで,それ以外のオーディオやビデオ関係の設備は昔のままだ.
もちろん古い設備のサポートは無いので,配線類はすべて自分たちで接続しなおした.

さて,古いワイヤレスマイク,去年からコードの接触が悪く,音が途切れたり雑音がひどかったりしたのが,どうしようもなくなってきた.
分解しようにも,真ん中に突起のある六角ボルトなので,専用工具がないと開けられなず,あきらめていた.

今日,授業初日,マイクなしでやってみたが,マイクに慣れているので,とてもつらい.使えないなら壊れてもいいと,分解することにした.

六角ボルトは鋏の先端をうまく使ったら,開けることができた.(開かなかったらプラスチックのケースを破壊するつもりだった)
すると,マイクの線の1本が完全にはずれていた.今まで使えていたのが,奇跡的.
もう,分解してしまったので,組み立てても今までのようにはくっつかないだろう.
理科室で半田ごてを借り,つなぐことにした.

ところが,細かい部品がたくさん込み入っている場所なので,うまくいかない.
切れている線は,被服を剥き直さなければならぬが,そうするには繋がっているほうもはずさなければ不可能.

半田を溶かして,つながっているほうを抜いたら,余った半田で穴が塞がってしまった(トホホ)
これでは線が入れられない.半田を盛ってつなぐしかない.
つながったと思って,組み立てたら,六角ボルトのねじ穴の上に線を通してしまって,ふたが閉まらずやりなおし.(トホホのホ)

そうこうしているうち,塞がった穴から半田が流れて,片方だけ線を通せるようになった.
片方の線を通したら,もう片方との長さがアンバランスで,つけられない.
半田を溶かして微妙な長さを調整.
もう片方は半田を盛って,取り付ける.

悪戦苦闘すること1時間で,完成.
半田ごてなど,何年ぶりかな.

修理前は,動くと接触の悪さで大きな雑音が出たり,音が切れたりするので,「体を動かさないように」気をつけて使っていたが,普通に使えるようになった.
きわめて快適である.

でも,また取れるかも.そうしたら,また1時間の悪戦苦闘か・・・

2007年1月9日火曜日

起動しない

12月に入れたコンピュータ教室,先週ちょっと使ったら,生徒機8番が起動しない.電源を入れても起動画面に移ることなく即ダウンしてしまう.

ということで導入した会社に連絡すると,その後すぐにサポート専門会社から電話が来た.
「ハードウェアのトラブルだと思われるので,製造番号を知らせてください.」
ということ 6X006631A を知らせる.
すると即座に別のメンテナンス会社から電話が来て,「9日に伺います.」

まぁ誰が直してもいいけど,今日,さっそく直しに来た.
すると
 「異常なし」
んー.先週は嫌われたのかな.
でも,電源ユニットをそっくり交換してくれた.

2007年1月8日月曜日

メアドのなぞ解決

誰でも自分の名前の聞き間違えられ方,読み間違えられ方のパターンはあると思う.
間違えられればたいていの人は,訂正するだろうが,自分は訂正しない.そのままで通す.気づいて訂正してくれてもいいし,間違ったままでも気にしない.

先日も出張先で読み間違えられたまま30分.その後,知人が自分を呼ぶ名を聞いて間違いに気づき,,
「すいませんでした.○○って読むんですね.」
「あ,気にしないでください,どちらでも自分とわかるのでどっちでもいいです.」

公式の文書以外は,聞き間違えの通りの文字をあてて書いてしまうこともある.たとえば混雑したファミレスの名前記入など.ひらがなも多い.住所はまず漢字では書かない.画数が多くて・・・

先日,こうした名前の聞き間違いや読み間違いの話題になった.
そのとき妹が
「私は中国語で teng gang du って言うんだよ.」
「それって,もしかしてメアドに使ってる?」
「あ,そうそう,メアド」
「そっか,何だろうって思ってた.俺の名前は何て読むのかな」
「あー,何だろう.調べとく」
妹の旦那は厦門に単身赴任しているので,妹もそれなりに中国語を勉強している.

さて,アドレスはteng-gang-du数字・・・で誕生日の数字の前が「何だろう」とは思いながらも,特に気にもしていなかった.自分の名前だったのかー.3年来のなぞが解決.

2007年1月7日日曜日

関学大

記事
「カージナルス田口,関学大で自主練」てのがあって,まぁ普通に「関西学院大学」とは思ったけれど,関○学院大学って他にもあるよね.

2007年1月6日土曜日

久々単車

昨日は久々にGB250に乗った.年末の27日以来である.年末年始,家族を車に乗せて出かける以外,一歩も外へ出なかった.

仕事帰りにムスメの家によってパソコンのメンテナンス.ずいぶん前に新しくプロバイダ契約したのだが,そのときから
「メールの受信ができるけど,送信ができない」
と言っていた.今日いろいろ試したら,自分が自宅や学校で普通にメールを使っているパソコンをつないでも症状が同じ.ということは,パソコンの設定がおかしいわけではない.ルータの設定が問題なのか,プロバイダの問題なのだろうが,わからない.

面倒なので,Googleのメールアカウントをとった.で,そこで送信すると自分のメールアドレスで送信したように見える設定にした.
つまり受信は自分のメーラーで,送信はブラウザのGmailからだが,同じアドレス.

帰りは高速道路を使って気持ちよかった.
1週間以上家に閉じこもっていると,単車に乗るのが億劫になるが,またがってしまえば「ひゃっほー」.
ずっと走り続けたくなる.

この連休も,教材作成で一歩も家を出ることはないな.

>>GB250 クラブマン日記

2007年1月5日金曜日

円周率は無限小数で,さらに分数にならない

これは
「円周率は無理数である」
という一言で片付くのであるが.

円周率の話題は今までもたくさん書いている.>サイト内の記事

円周率の計算記録が伸びるニュースが伝わると,「いつか終わるのだろうか」という素朴な疑問を持つ人もいるようだ.
もちろん,円周率は無理数なので,終わることはない.
実際の計算も,「無限に長い式」を途中で止めて,「今回は○桁」である.

そもそも,
「分数にならない実数を無理数という」
のであるから,無理数である円周率は分数にならないことも明らか.

さて,
「無理数ならば無限小数」
を示すことも,たやすいことである.

それはその対偶である,
「有限小数ならば分数(有理数)」
と同値だからである.

証明
小数n桁なら,分数の分母に10^n(0の個数がn個の100…0という数)をつかえば,分子も整数になる.

これは証明より,実例のほうが納得できる.
123.456789 という有限小数は
\frac{123456789}{1000000}
という分数(整数比)になるということである.

「有限小数ならば分数(有理数)」
が示されたのでその対偶
「分数(有理数)でないならば有限でない小数」
も正しい.ここで,
「分数(有理数)でない実数を無理数という.」
「有限でない小数を無限小数という.」
なので,言葉を置き換えれば,
「無理数ならば無限小数」
が言える.

ということで,円周率は無理数であることがわかっているので,分数で表すことができず,「無限小数」といえる.
同様に高校の教科書で,無理数であると証明している√2も無限小数である.


問題は円周率が無理数であることを証明すること.結構面倒だが,高校レベルの数学でできる.>参考サイト(PDF)

大阪大学の入試問題になった.>入試問題 大阪大学 後期4


さて,無限小数の中には,分数で表されるものもある.
つまり,無理数ならば分数にならないし無限小数だが,無限小数の中にも分数(有理数)がある.(正しい命題の逆が成り立つとは限らない)
1÷3 = 0.333・・・
1÷7 = 0.142857 142857 ・・・
分数には,このように循環する無限小数がたくさんあるが,逆に,循環小数はすべて分数(有理数)であるといえる(高校の数学III).たとえば,
0.5736866 5736866 5736866・・・= 5736866/9999999 = 1234/2151
のように必ずできる.>循環小数の話題

したがって,無理数である円周率や√2は,循環もしない無限小数といえるし,無理数なので分数にもならない.

さて,5736866/9999999 = 1234/2151 の約分はユークリッドの互除法を使う.>過去の記事
くろべえ「互除法」関連の記事


9999999 - 5736866 = 4263133
5736866 - 4263133 = 1473733
4263133 - 1473733 × 2 = 1315667
1315667 - 158066 × 8 = 51139
158066 - 51139 × 3 = 4649
51139 - 4649 × 11 = 0
より最大公約数 4649.
5736866 ÷ 4649 = 1234
9999999 ÷ 4649 = 2151
5736866 / 9999999 = 1234 / 2151

2007年1月4日木曜日

少子化で人手不足

年末年始の大売出しでも,バイトが集まらずにどの店も大変と報道されていた.

この国はもう人がいないのだから,クリスマスや正月に店を開けること自体がまちがっている.
ムスメは元旦開店のバイト先を辞めて家にいた.
「3が日にシフトを入れる店なんかやってらるか」

みんな店を閉めて,家族と過ごせばいいだけのことだ.
「正月やクリスマスはどこへ行っても閉まっている.家にいるしかない」
という,のどかな国にはもう戻れないだろうな.

まぁせいぜい正月返上で儲ければよい.

2007年1月3日水曜日

時計の電池

ホームセンターで買った980円の腕時計が電池切れ.
電池は小さいボタン電池SR626SW 希望小売価格630円

んー,時計を買い換えるか微妙な値段.
ベルトもダメになってるし・・・

100円ショップにあるかな? 今日見に行こう.

2007年1月2日火曜日

初夢

なんか旅行していた.

ローカル線の踏切を歩いて渡る.草ぼうぼうの感じからすると銚子電鉄?(笑
すると,変わった外観の建物.
むき出しコンクリートなのに,デザインに凝った外観.
オブジェみたいな建物だった.

建物下には自分の単車.なぜか小さいオフロードタイプ.ところが走り出すとGB250