2007年5月18日金曜日

1の累乗根(x^n-1=0 の解)の図

図を所望されたので.
1のn乗根(x^n-1=0 の解)は,原点を中心とする半径1の円に内接する,1を頂点とする正n角形の頂点に並ぶので,
\cos\left(\frac{360^{\circ}}{n}\times k\right)+i\sin\left(\frac{360^{\circ}}{n}\times k\right)\ \ \ \ (k=0,1,2,\ \cdots,\ n-1)
と表される.
その理由は,旧教育課程「数学B」の「複素数平面」の教科書に書いてあった.
de Moivre の定理から明らかである.
したがって,図に描くといっても円上に点を並べるだけである.

1乗根 x-1=0 の解 >x=1=1+0i=\cos0^{\circ}+i\sin0^{\circ}
1の1乗根


1の原始n乗根を表す方程式を導く方法は>>以前の記事「メビウスの反転公式」

2乗根(平方根) x^2-1=(x-1)(x+1)=0
原始2乗根を表す方程式x+1=0の解 x=-1=-1+0i=\cos180^{\circ}+i\sin180^{\circ}
1の2乗根

3乗根(立方根) x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)=0
原始3乗根を表す方程式x^2+x+1=0の解は
x=\frac{-1+\sqrt{3}}{2}=\cos120^{\circ}+i\sin120^{\circ}
x=\frac{-1-\sqrt{3}}{2}=\cos240^{\circ}+i\sin240^{\circ}
1の3乗根

4乗根 x^4-1=(x-1)(x+1)(x^2+1)=0
原始4乗根を表す方程式x^2+1=0の解は
x=i=0+1i=\cos90^{\circ}+i\sin90^{\circ}
x=-i=0-1i=\cos270^{\circ}+i\sin270^{\circ}
1の4乗根
つまり,-1の平方根は 1 の原始4乗根である.

5乗根 x^5-1=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)=0
原始5乗根を表す方程式x^4+x^3+x^2+x+1=0の解はこちら
x=\cos72^{\circ}+i\sin72^{\circ}
x=\cos144^{\circ}+i\sin144^{\circ}
x=\cos216^{\circ}+i\sin216^{\circ}
x=\cos288^{\circ}+i\sin288^{\circ}
1の5乗根

6乗根 x^6-1=(x-1)(x+1)(x^2+x+1)(x^2-x+1)=0
原始6乗根を表す方程式x^2-x+1=0の解は
\frac{1+\sqrt{3}i}{2}=\cos60^{\circ}+i\sin60^{\circ}
\frac{1+\sqrt{3}i}{2}=\cos300^{\circ}+i\sin300^{\circ}
1の6乗根
つまり,-1の3乗根は 1 の原始6乗根である.


7乗根 x^7-1=(x-1)(x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)=0
原始7乗根を表す方程式x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1=0の解はこちら
\cos\left(\frac{360^{\circ}}{7}\times 1\right)+i\sin\left(\frac{360^{\circ}}{7}\times 1\right)
\cos\left(\frac{360^{\circ}}{7}\times 2\right)+i\sin\left(\frac{360^{\circ}}{7}\times 2\right)



\cos\left(\frac{360^{\circ}}{7}\times 6\right)+i\sin\left(\frac{360^{\circ}}{7}\times 6\right)
1の7乗根

8乗根 x^6-1=(x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+1)=0
原始8乗根を表す方程式x^4+1=0の解は
\frac{1+i}{\sqrt{2}}=\cos45^{\circ}+i\sin45^{\circ}
\frac{-1+i}{\sqrt{2}}=\cos135^{\circ}+i\sin135^{\circ}
\frac{-1-i}{\sqrt{2}}=\cos225^{\circ}+i\sin225^{\circ}
\frac{1-i}{\sqrt{2}}=\cos315^{\circ}+i\sin315^{\circ}
これは虚数単位 i の平方根を表す方程式でもある.>>参考
1の8乗根
つまり,虚数単位 i の平方根は 1 の原始8乗根である.

9乗根 x^9-1=(x-1)(x^2+x+1)(x^6+x^3+1)=0
原始9乗根を表す方程式x^6+x^3+1=0の解はこちら
\cos40^{\circ}+i\sin40^{\circ}
\cos80^{\circ}+i\sin80^{\circ}
\cos160^{\circ}+i\sin160^{\circ}
\cos200^{\circ}+i\sin200^{\circ}
\cos280^{\circ}+i\sin280^{\circ}
\cos320^{\circ}+i\sin320^{\circ}
1の9乗根

10乗根 x^10-1=(x-1)(x+1)(x^4+x^3+x^2+x+1)(x^4-x^3+x^2-x+1)=0
原始10乗根を表す方程式x^4-x^3+x^2-x+1=0の解は5乗根のときのように両辺を x^2 で割って,
t=x+\frac{1}{x}
とおくことにより,2次方程式に帰結して解くことができるが,図より -1 を頂点とする正5角形上に並ぶので,
+\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}+\frac{-1+\sqrt{5}}{4}i=\cos36^{\circ}+i\sin36^{\circ}
-\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}+\frac{-1+\sqrt{5}}{4}i=\cos108^{\circ}+i\sin36^{\circ}
-\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}+\frac{-1-\sqrt{5}}{4}i=\cos252^{\circ}+i\sin252^{\circ}
+\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}+\frac{-1-\sqrt{5}}{4}i=\cos324^{\circ}+i\sin324^{\circ}
1の10乗
つまり,-1の5乗根 1 の原始10乗根である.

11乗根 x^11-1=(x-1)(x^10+x^9+x^8+x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)=0
原始11乗根を表す方程式x^10+x^9+x^8+x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1=0の解の考察はこちら(厳密解は解いてません)
\cos\left(\frac{360^{\circ}}{11}\times 1\right)+i\sin\left(\frac{360^{\circ}}{11}\times 1\right)
\cos\left(\frac{360^{\circ}}{11}\times 1\right)+i\sin\left(\frac{360^{\circ}}{11}\times 2\right)



\cos\left(\frac{360^{\circ}}{11}\times 10\right)+i\sin\left(\frac{360^{\circ}}{11}\times 10\right)
1の11乗根

12乗根 x^12-1=(x-1)(x+1)(x^2+x+1)(x^2+1)(x^2-x+1)(x^4-x^2+1)=0
原始12乗根を表す方程式x^4-x^2+1=0の解は,複2次式の形に持ち込んで因数分解できるが,i を頂点とする正6角形の頂点に並ぶので,
\frac{\sqrt{3}+i}{2}=\cos30^{\circ}+i\sin30^{\circ}
\frac{-\sqrt{3}+i}{2}=\cos150^{\circ}+i\sin150^{\circ}
\frac{-\sqrt{3}-i}{2}=\cos210^{\circ}+i\sin210^{\circ}
\frac{\sqrt{3}-i}{2}=\cos330^{\circ}+i\sin330^{\circ}
1の12乗根
つまり,iの6乗根は 1 の原始12乗根である.


追記「リゾルベント」

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