2000年5月30日火曜日

2000年1学期 第1回抜き打ちテスト

1年生への抜き打ちテストの洗礼.合唱祭直前なので,練習を邪魔しないために,テストの予告はしなかった.予告すると練習サボってがり勉したやつがいい点取るかもしれない.それは本末転倒だ.うちの学校に「中間テスト」がないのは,「勉強はテストのためにするのではなく,普段の学力でテストを受ける.いつテストをされてもいいように普段から学力を磨くため」です.
しかし,学期末の一斉テストは「学校というシステム」だからさけられない.そもそも,学校という社会システムは馬車馬の尻をたたくように,テストで勉強を強制するものなのだ.

TeX ソースと PDF

全く抜き打ちでやったので平均点は思いっきり低く,34.8.だが標準偏差が 13.2 大きいのは一部よくできる生徒がいたからである.

得点分布は次のとおり.

各問いの配点はオッズを元に計算されている. オッズをそのまま得点にすると点差が開きすぎるので,4倍に圧縮して, 100点満点になるように調整してある.

解答例

1 (x+1)(x2+x+1)(x2-x+1)(x-1) を展開せよ.

解答
    (x+1)(x2+x+1)(x2-x+1)(x-1) = (x+1)(x2-x+1)(x-1)(x2+x+1) = (x3+1)(x3-1) = x6-1
解説
    計算の順序を工夫しないととてつもないことになる.
結果
    ○ 76人 △ 1人 × 44人 オッズ 1.58 配点 3.49

2 2x2+5x+2 を因数分解せよ.

解答
    2x2+5x+2=(2x+1)(x+1)
解説
    たすきがけの基本.
結果
    ○ 118人 △ 0人 × 3人 オッズ 1.03 配点 2.74

3 2x2-5xy+2y2 +7x-5y+3 を因数分解せよ.

解答
    2x2-5xy+2y2 +7x-5y+3 =2x2+(-5y+7)x+2y2-5y+3 =2x2+(-5y+7)x+(2y-3)(y-1) =(2x-y+1)(x-2y+3)
解説
    文字を含むたすきがけの基本.
結果
    ○ 52人 △ 0人 × 69人 オッズ 2.33 配点 4.34

4 (2x5+x3-x2-4)÷ (x2-2x) の余りだけを求めよ.

解答




    24917
    1-20)201-10-4




    2-40





    41-1





    4-80






    9-10






    9-180







    170-4







    17-340








    34-4
    34x-4
解説
    数字だけ並べてやると便利.とにかく根性. あまりだけを答えさせたのは,採点の利便性.
結果
    ○ 55人 △ 0人 × 66人 オッズ 2.20 配点 4.20

5 \frac{x-1}{x^3+2x^2+x}+\frac{x+2}{x^3-x} を簡単にせよ.

解答
解説
結果
    オッズ 2.20 配点 4.20



6. 方程式|x − 3| = 2x を解け.

7. (√3 + 2√2)/(√3 −√2)の分母を有理化しなさい.

8 次のもののうち正しいものに○を記入し,そうでないものには,正解を書きなさい.
(1) x2 − 2x − 3 を因数分解すると(−x + 3)(−x − 1).
(2) x2 − x − 2 を因数分解するとx(x − 1) − 2.
(3) (√a)^2 = a.
(4)√(a^2) = a.
(5) a > 0 のとき√a はa の平方根を表す.
(6) |x − 1| = x + 1.

9 多項式の展開と因数分解はどういうものか,それぞれ簡潔に説明せよ.

10 整式0 の次数はどう考えるべきか.またそう考える理由も書け.

11 定理,「a > 0, b > 0 のとき √a√b =√(ab).」を証明するに当たり,
(1) 前提となる性質や定義を箇条書きにせよ.
(2) 上記の性質や定義を使ったところを明示して定理の証明を書きなさい.

12 数直線の定義によって,「数」と「直線」との間に作られた本質的な概念とは何か.

13 絶対値の真髄を一言で言い,絶対値記号のはずし方のポイントを述べよ
答え

2000年5月27日土曜日

9月23日問題

例年,勤務校ではこの頃の土日に文化祭第2部を行っている.今年は9月23日24日にあたる.これが今,問題になって先月,新聞にも報道されていた.

県教委は「祝日と休日が重なった日(今年の9月23日)に行事をやらないように」と言ってきた.その理由は「規則ではこのような日は代休を2日与えなければならないが,これは社会通念上,県民の理解を得られない.行事は違う日に行うように.」ということ.

勤務校では一般公開を土日の2日間行っているが,この日を避けると大変な無理を強いられる.例えば,1日しかやらない運動会の日程を動かすようなわけにはいかないのだ.

実は,県の規則というより国家公務員の規則がそうなっているのを,県が踏襲しているらしい.「土曜日と祝日が重なった日の出勤に代休を2日分出す」というのはおかしな話で,われわれ教員は「べつに1日出勤したら,休みが1日なのは普通のことじゃん」と思っていた.

ところが,正確には県の一般職は「代休と時間外勤務手当て」つまり「祝日出勤には代休と時間外手当」をもらっている.まぁ給料の二重取りともいえるが,これは使用者に対してのペナルティの側面もあって,そもそも国家公務員の人事院勧告がそうなっているようだ.つまり「労働慣行」ですね.

教育職は時間外手当のない職だから,時間外手当を与えることは不可能で「代休」しかなく「代休2日」になってしまう.規則は「祝日出勤は代休」,「土日出勤は代休か時間外手当」の二本立て,祝日と土日が重ならなければ,教育職は大抵代休なわけだ.(でも部活の試合で出勤しても代休を取る人は今まで見たことないけど・・・^^;)
でも,休日祝日が重なったら「代休を二日とれ」とか「代休と手当て両方もらえ」という規則はどこにもない.つまりこれは「解釈,運用」の問題で,条例でも規則ではない.
だから「合理的じゃないし,『県民の理解が得られない』からやめてしまえ」とも思う.
ところが「労働者の権利」という視点に立つと
「祝日と土日が重なった日の出勤は使用者に対するペナルティを科して給料と休みの二重取りをする」
というのが労働慣行になっているわけで,教育職の都合で「代休二日はいらん」というと一般職の労働慣行が脅かされるわけだ.

で,目下のところ「代休は前後4週間にとれ」という規則があるから前4週間なら夏休みにかかるから,そこに代休を割り当てればいいじゃん.というのが,俺らの主張なわけ.そうすれば,一般職の権利を脅かすことなく,できるじゃん.
すると県は「どっちにしても1日の出勤に代休2日は県民の理解が得られない」と難色を示してしている.つまり「夏休みは休みじゃない」ということなんだよね.

「労働慣行」というのは労働者が勝ち取った権利なので,実は規則以上に重みを持つ.さらに,「県民の理解」というのも県当局にとっては重要.だから,その軋轢を教育に押し付けてきた.というのが今回の構図.日程変更でなんとかならんかという傲慢さもある.
どの学校も「日程変更してくれた」と県は言っているが,喜んで変更したところなんて,皆無のはずで,どこもしぶしぶだろう.
県にしてみれば日程変更してくれれば,いろんなところに波風が立たないわけだが,それが未来への投資の「教育」に押し付けられるというのが,教育行政の貧困さ哲学の無さを露呈している.「大切な子供を育てるためだから大目に見て理解して欲しい」となぜ主張できないのだろうか.

2000年5月26日金曜日

電車内では携帯電話のご使用を・・・

そもそも他人に迷惑なる事をしないのは「ジョーシキ」なのだ.手取り足取りジョーシキを訴えるところに社会の幼児性が垣間見られる.
黄色い線の内側に下がって,危険な駆け込み乗車は自粛して,閉まるドアに気をつけるのは,普通の大人なら当然のことで人に言われて「そうだったのか」なんて思うやつなどあんまりいない.

椎名誠が
「丸の内のビジネスマンたちが朝から閉まるドアにはさまれて日本の経済を支えていけるのか?」
ということをどっかで書いていた.その文では
「おせっかいに走るのは,もうひとつのおせっかいを受けないため」
という分析がされていた.
もうひとつのおせっかいとは
「黄色い線の内側に下がらせたり,駆け込み乗車が危険なことや閉まるドアに気をつけることを知らせないのは安全管理上問題で,鉄道会社の怠慢である」
という投書をされるのを恐れるからであるということだった.

基本的にこの国にはおせっかいで親切な人が多いから,電車のアナウンスは事細かにわたるのだと思う.椎名誠によると欧米ではアナウンスはほとんどなく,きわめて静かだそうだが行った事がないから私は知らない.

 このおせっかいの力は電車のアナウンスだけでなく,街中や海山川観光地にあふれるありとあらゆる看板,放送に行き届いている.
特にこのおせっかいは事なかれ主義の行政が最も恐れることでもあるので,よく海水浴場にある行政の立てた看板は細かいよねぇ.

「酒を飲んで泳ぐな,妊婦は泳ぐな,心臓病の人はだめ,焚き火をするな,商売するな,・・・」
心臓病の人が泳ぐことは考えられないと思うけど,ちゃんと項目に入れておかないと,「もし心臓病の人がいて泳いでしまったらどうするのですか?」
と行政におせっかい焼くひとがでたり,
「うちの子は心臓病で泳がせたら死んでしまった.これは看板で注意を喚起しなかった行政の過失である」
と裁判にならないように,小心者の小役人はせっせと看板を建てるのである.

2000年5月1日月曜日

0で割る計算,0除算,割り算の意味

2005年4月1日追記.


「不定」,「不能」といのうは正しいとはいえない.正しくは「定義できない」だけでよい.
その辺の事情を書いた
0で割れない理論的な(ということは難しい)理由
これからは次のように説明するかな.
1.逆数とは積が1になる2数.(逆数の定義)
2.0倍したらなんでも0(定理)だから,0の逆数(0倍して1になる数)はない.
3.割り算は,逆数をかけること.(除算の定義)
4.5を0で割る計算は,5と,0の逆数の掛け算だが,存在しない数とは掛け算できない.
5.つまり0で割る計算は「できない」

2004年12月19日追記.


実数の公理から,0の四則計算を証明.
0の四則計算(0の意味)

2004年6月8日追記.


先週も1年生に0で割る計算を授業で話した.5分で納得してもらえる.
5÷0の答えはなんだと思う?
「わからない」「0」「?」
じゃあさ,15÷3の答えは?
「5」
そうだよね.どうして?
「15個のものを3人で分ければ5個ずつだから」
え,いつもそうやって割り算してるの?
「・・・」
15÷3の答え5を出すとき,何してる?
「三五十五」
お!掛け算の九九だね.えらい,よく知ってる! おれさぁ,いまだに7の段の後半が苦手でさ.しちろく四十八とか言っちゃう時がある.
それはともかく, 15÷3の答えが5なのは,15=3×5 だからなんだよね.
じゃあ,5÷0 の答えを □ とするよ.すると 5=0×□ じゃなきゃだめだよね.
0倍したらどうなる?
「みんな0」
だよねー.0倍して5になるような数は?
「全然ない」
そう,OK! ,5÷0 の答えは『全然ない』んだよ.

次にさ,0÷0 の答えを □ とするよ.すると 0=0×□ じゃなきゃだめだよね.
□ は 0倍して0になる数が入るよ.
それはどんな数?
「なんでも」「全部」
正解!みんな良くわかるなぁ.
0で割ると『全然ない』か『全部』になっちゃうから,意味ないでしょ.だから数学では,そんな無意味なことは考えないことにしているんだ.


2005年3月27日追記.


テレビ番組で,大々的に放送したらしい.
くろべえ: 脳内エステIQサプリ

0で割る計算


2000年4月,1年生に0で割る計算をレポートで考察してもらい,それに対するコメントを配布したので,そのまま掲載.

はじめに


今回のレポートで皆さんの努力が良くわかりました.とても深く考えてくれた人,色々な実例を考えてくれた人等々.
何度も言いますが,数学は「考えること」「頭をつかうこと」であり,「問題を解くこと」では決してありません.
「問題を解くこと」は数学理解のための手段であり,それが数学の目的ではないのです.頭を使うことはそのまま数学することです.頭を使うことを嫌がったり,怖がったりしてはなりません.みんなは,テレビを見るときは頭を使わずに見ていると思います.数学の授業をテレビを見るように受けてはいけません.私のしゃべることを,自分の頭脳の中に展開して,数学的なイメージを作りながら授業を受けてください.イメージが作れないときは,わかってないということですから,「わかんない!」と叫んでください.ノートは補助的にとるだけであって,板書を写すことが目的となることの無いようにしましょう.(私は板書が下手なので写すのが趣味の人の期待にはそえません)ノートの整理は復習の時にするようにして,授業中は頭を使うことに専念しましょう.

数とは


まず,自然数は個数を数えるという,人間の最も簡単な数学的概念を表現したものといえます.皆の解答の中に,
「0は何も存在しないことである」
が,たくさん見受けられました.
割る数が 0 =「ない」 ので 「解はない」
人がたくさんいました.それを理由に「解がない」というならば
「5+0 はたす数がないから解はない」
ということになる.個数が一つもないことをや大きさがないことを 「0」 と表現しますが, それは,個数や大きさを表現する数として,数 0 が存在することになります.一つもないことを表現する 0 であるがゆえに,
「0」 は 「数が無いこと」
と混同しているようです.
「0」という表記がある以上「0は存在」します.
「0」が存在しなければひとつもないことを表すことができなくなります.
「5-5」の答えを表記する手段として0は存在します.
これは「点は存在しても,点の大きさがない」に近いものです.
例えば,方程式 x2+1=0 を考えてみましょう.移項すると x2=-1 となります.つまり,解は2乗すると -1 になる数です.そんな数は少なくとも,数直線上に出てくる数(実数) ではありません.この方程式をみたす解は実数の範囲には存在しません.存在しないからといって,x=0 ではないでしょう.
一方,方程式 2x-3=-3 の解は x=0 です.「0」 が求まったからといって, この方程式の解がないということにはならないでしょう.
個数が一つもないことや大きさがないことを表現する 「0」 と 「数が無いこと」を混同しないようにしましょう.
数は,もともと個数を数えることから始まりました.小さい子供もその様な数をはじめにおぼえます.数が,個数だけを表現するものならば, 「無いことが 0」 としてもさほど差し支えありません.しかし,数は個数以外にも色々なものを表現します.みんなが知っている数としては,実数(数直線で表される数)はかなり万能な数です.もし,数が個数しか表現しないとしたら...
次の問題を考えてみましょう.
自動車が5台あります.4人で等しく分けると 一人あたり何台になりますか?
5÷4=1.25 だから答え 1.25 台ですか? でも,そんな答えはナンセンスです.5台の車を4人で等分することなどできないからです.つまり,自動車が5台,人が4人というのは,個数つまり自然数だけの世界です.5÷4 の答えは自然数にはならないので,この問題は「解はない」,「5台の自動車を4人で等しく分けることはできない」と答えるしかありません.
つづいて,数が正の数しか表現しないとしたら...です.個数につづいて,次は「大きさ」です.大きさというのは正の数,正確には正の実数で表現されます.
長さ1m のひもがあります.このひもを 3m 使ったら 残りは何m ですか?
1-3=-2 なので -2m ですか? でも,そんな答えはナンセンスです.1m のひもから,3m 使うことなど出来ないからです.つまりひもの長さは「大きさ」なので正の数だけの世界です.これもやはり,「解はない」,「1m のひもから 3m は使えない」と答えるしかありません.
つまり,数というのは使う場面により,意味を持つ範囲が自ずから定まります.私が,0 で割る計算を出したときはとりあえず数はあらゆる数を考えてました.それを,個数だけに限定して考える頭の固い人が多かったことにびっくりしています.まあ,割り算の定義は小学校(せいぜい正の数)で教わったままの人が多いのでしかたがないことなのでしょう.
数が個数や大きさしか表さないのならば,小数や負の数はナンセンスです.でも,液体の量を測ったりするのに実数(ここでは特に小数)は有用ですし,空間の位置を表現するためには正の数だけでは無理があります.
もちろん,小数も負の数も「数える」ことから出発していて,だからこそ 1, 2, 3, ・・・ などの数字を使うわけですが,ここでそれらの作り方を確認します.
まず,小数.あるひもの長さを測るとします.単位はこの際なんでもいいですが,便宜的に 1m としましょう.1m づつ測りながら数えていって,ひもの長さが 4m と 5m の間にあることがわかりました.そうしたら,次に 1m を 10等分して 6つめと 7つめの間にひもの端がきました.6つめと 7つめの間をさらに 10等分したら,ちょうどひもの長さが3つめにきました.このときひもの長さを小数で 4.63m と表現するのです.(このように10等分するとき小数の 10進展開といいます,半分にして 0,1 だけを使えばコンピュータで使われる2進展開になります.)つまり小数も「数える」ことを基本にしていますが,小さく分けて数えるわけです.
ここで疑問になるのが,「無限に続くわけのわからない小数も数といえるか」となるわですが,これは「極限」の議論ですから,ここでは説明しません.
次に負の数.これは,数直線の作り方でもあります.直線上に点O をとり O と違う点 E をとり,線分OE の長さを 1 とします.そして,点O には数0,点E には数1 を対応させます.ある点A が O からみて E 側にあり,線分OA の長さが,4.63 のとき点A には数4.63 を対応させます.ある点B が O からみて E と反対側にあり,線分OB の長さが,2.3 のとき点B には数 -2.3 を対応させます.これが,負の数です.
つまり,「大きさ(長さ,量)」から「位置」の概念へのジャンプです.
位置を表現する数として,負の数は不可欠です.さらに,1年の2学期には実数よりさらに広い数の世界(複素数)を学習します.その数のありがたみは,高校の数学程度ではほとんどありませんが,電磁気学を表現する数として,なくてはならない数です.
数は個数を数えることから始まってますが,それだけでは表現できるものが少なすぎるため,負の数や,小数,その他色々な数に拡張されるのです.
「数は,個数や大きさを表現するものであり,また,それだけである.」
としか思えない人にとって,負の数の理解に到達することが難しくなります.

割り算とは


割り算とは何でしょう.「10個のものを5人で分けるとき」 10 ÷ 5 = 2 と答えることかな.
割り算はわけることである
という理由を書いた人が多かったのは,小学校で始めに習ったときは,「分けること」とならったからなのでしょう.「分けること」の計算に使うのは「応用」であって,「本質」ではありません.「応用」から入るのは,現実の問題を考えさせることによって,導入をやさしくするという「教育的配慮」です.その意味で,「関数」で考えたり「速さ」で考えてくれた人もいてそれはそれでよいことですが,結論的にはそれらは「割り算の応用」に過ぎません.
割り算の本質は「1あたりを求める」ことです.そして掛け算は「1あたりがいくつぶんあるか求める」ことです.したがって数学的には
割り算は掛け算の逆算
です.10÷5 = 2 の答えを出すときは掛け算の九九の表を思い出して, 5×2 = 10 を計算すると思います.つまり 10 = 5×2 だから 10÷5 = 2 なのです.
10 = 5 × 2
10 ÷ 5 = 2
この事を理解した上で,宿題の問題を考えてみると,自ずから答えが出ると思います.
また,5÷0 などを 5 × (1/0) のようにした人もいましたが,問題の本質は変わってません.(1/0)= 1÷0 だからです.「分数=割り算=比」であることを忘れないでください.(分数の割り算についてはこちら.)例えば,(5/8) = 5÷8 = 5 : 8 です.5÷0 を 5/0 と書き換えたところで,表記法が変わっただけで,問題の本質に変わりありません.

0÷5

「0割る」

これは全員正解していました.電卓で計算しても 0 が出てきます.0÷5 = x とすると,0 = 5×x でなくてはなりません.このような x は 0 だけです.

5÷0

「0割る」その1

「無限大」と答えた人がいました.つまり 5÷x で x が正の値をとりながら限りなく 0 に近づくとき答えが無限に大きくなるからでしょう.このようなものを数学では極限といい,これから習います.また,0 に近づくものを無限小といいます.(マイナス無限大とは違います)
実は,0 と無限小とは似て非なるものです.0 はあくまで 0 であり,無限小ではありません.数学では,無限小と 0 は厳格に区別して扱います.
無限小の振る舞いを論じる理論が解析学です.
無限小を無限小で割る計算が微分で,無限小を無限個集めるのが積分です.
無限小を掛けたり,無限小で割ったりしますが,0 を掛けたり, 0 で割ったりすることではありません.
この辺の話しはおもしろいのですが,これからのお楽しみです.
それから「最も大きい数と,最も小さい数」という答えがありました.最も大きい数 M が存在すると仮定すると, M<M+1 満たす M より大きい数 M+1 が存在してしまう.無限大というのは「数」ではなく状態です.
さて,正解ですが,割り算は掛け算の逆算であることから,
5÷0 = a とすると 5 = 0×a
です.0 倍して 5 になる数はありえないので,このような計算は不能です.
a が無限大としても 0倍したら 0 になります.5 になりません.
「解はない」でも O.K. でしょう.
でも,5÷4 の解が自然数の範囲に解がないのとは本質的に違います.5÷4 の解は数の範囲を拡張すれば解を持たせることが出来ます.ところが,5=0a をみたす a は数の範囲をどんなに広げても解がありません.そんな意味を込めて「不能」と表現するのでしょう.
どっかで聞いたのか理由がなく「不能」とだけ答えた人もいました.
また「0 で割るから不能である」と意味不明の説明もありました.
「0 で割る計算はできないと聞いた」人もいました.
なぜ,0 で割ると不能なのかを答えてほしかったのですが.
数学は当てものではなく「考えること」です.

0÷0

「0割る」その2

約分して 1 と答えた人がいました.約分とは何でしょう.
1÷1 = 1
0.1÷0.1 = 1
0.01÷0.01 = 1
0.001÷0.001 = 1
・・・・・・

なので 1 と答えた人もいました.分母も分子も 0 に近づくので(つまり無限小)これは 1 になります.でも,前節で説明したとおり無限小と 0 は違います.無限小の振る舞いのおもしろいところをお見せしましょう.
2÷1 = 2
0.2÷0.1 = 2
0.02÷0.01 = 2
0.002÷0.001 = 2
・・・・・・

分母分子とも 0 に近づくのに,この場合割り算の結果はいつでも 2 です.
無限小と 0 は違うのでどちらも 0÷0 の結果ではありません.
0÷0 = a とすると,逆算の意味から 0 = 0a です.
このような a はいくらでもあります.数でなくても,式であっても成り立ちます
0 = 0(5p-3q)
つまり,解は定まりません.「不定」と表現します.
解が定まらないときには,ほかに,式自身が解になってしまって一つの数に定まらないこともあります.(直線など,図形の方程式)
このような場合は,数値が定まらなくとも式自身が一つの解として定まります.(つまり図形自身が解)
0÷0 の場合,式ですら一つに定まらないのです.
あと,「定まらないから無限」という答えもありました.無限に存在することと,無限そのものはちょっとちがいます.

おわりに


以上見てきたように割り算は掛け算の逆算ですが, 0 で割る計算は「なんにもない」か「なんでもあり」になってしまうので,数学では「0 で割る計算は除外して考える」ことになってます.つま
0 で割る計算は定義しない
のです.
5/(x+1) という式では x≠-1 という条件が暗黙のうちについてきます.
「0 が数かどうか怪しい気がする.」と書いた人がいました.でも,現実に「何もないものの個数を表現する数」や「原点の座標を表現する数」として存在します.「数学の本質はその自由性にある.」とは G. Cantor の言です.ある概念を表現するのに有用なものならば,何でも取り入れて(つまり実在するものとして)扱うのが数学です.
これから先,様々な概念が登場します.そのときは頭をタコにしてその概念を自分の中のイメージとして,構築してください.タコぐらいではだめで,液状になるくらいがいいかな.悟りをひらくと,空気のようになる?
さらに自分の(数学)イメージを言語化できる表現力を身につけてください.



参考(2004.3.24 日記)

「0で割る」に見る科学的態度

質問サイト回答(2004.7)


2004年7月ある質問サイトの答えに,次のように投稿した.
まず0倍したら,なんでもかんでもすべて0になることはいいですね.
そこで割り算とは何でしょう?
15÷3=5 となる理由はなんでしょうか?
「15個のものを3人で分けると5個ずつになるから」ではありません.これは応用.
本質は, 15=3×5 だからなのです.
割り算をするとき実際は掛け算の九九を思い出して,引いていくと思います.「自分は掛け算の九九を使わずに割り算をやっている」という人がいたら,その方法を教えてください.まぁCPU のように引き算の繰り返しとか,「すべて一覧表になっている」(つまり割り算をすべて丸暗記している)人,あるは電卓しか使わない人はいるかもしれませんが,割り算は,実際掛け算をやっているのです.(電卓でしか出来ない人は,掛け算でやる方法を覚えてください.)
そう,割り算の本質は「掛け算の逆算」なのです.
このことからすると,5÷0 の答えとは,「0倍して5になる数」なんです.0倍したらなんでもかんでもすべて0になるのですから,そんな数はありえませんね.
べつに禁止されているわけでも,無限大でもありません.割り算の本質(掛け算の逆算)で考えれば,「そんなものなんにもないよ」というしかありません.

同様に 0÷0 の答えは「0倍して0になる数」ですから「なんでもかんでもすべてあり」になり,これまた意味を持ちません.

0で割る計算は「なんにもない」か「なんでもあり」ということで,無意味なので今のところ「数学では除外して考える」習慣になっています.
今までの数学と矛盾することなく,0で割ることに何か新しくて正しい論理的な意味を持たせることが出来れば,そこから新しい数学が始まると思います.べつに「0で割ってはいけない」ことが数学的に証明されたわけではありませんから.(「数学が矛盾しないことを,有限の論述で証明することはできない」ことは 1931年にまったく数学的に証明されています.)
「数学の本質はその自由性にある」という数学者の言葉があります.固定観念にとらわれることなく,挑戦してみてください.
↑この文章のアンダーダイン部分,思いっきりパクられてんの.まぁ,いいけど.
やほーちえ袋
少しくらい,自分でアレンジすればいいのに,完全にコピー&ペーストだもんなぁ.最後に,パソコンの計算結果の記述があるけど,「私は人や機械に頼って,自分では思考しません.」という意思表示をしている.

2004年9月4日追記.


「0で割ってはいけない」と習うらしい.俺がいつ教えた?
したがって,
質問「0で割ってはいけないと習ったのですが,なぜですか?」
の回答でも
「決まりだからです.」「定義だからです.」
と自分では,何も考察しない回答が並ぶことも多い.
学校では
「・・・だから,0で割ってはいけないのです.」
と教わるものの,「・・・」を忘れ結果だけ覚えていて,ある日「どうしてだろう」と思うのか.
まぁ,「0で割ってはいけない」理由を知らずに「決まりだ」で済ませる数学教師もいるだろうし,知っていても,教えるのは面倒だし,結果だけ使えば受験には十分だし,「決まりだ」で済ませることもあるだろう.
私は「いけない」ではなく,「意味がない」と教えるようにしている.そっちのほうが,理由に近い.
0で割る計算は「なんもない」か「すべて」になって意味がない.


2006年11月21日ブログ - 「0で割る」でアクセス噴火

2005年11月9日追記.


分数の割り算にみる数学における「定義」の意味


Linked

Lestialization
どこが間違い?「1=2」を証明する
『0で割るということ』について。
「無限大」の大小について
「無限大」の大小について
「無限大」の大小について
0÷0の答え - Yahoo!知恵袋
0で割るとどうなるか (数学ネタ17)
数学ガールはさっぱり読めてないがゼロディバイドについて - polestar's blog
数学で「A÷0」(ゼロで割る)がダメな理由を教えてください。 - Yahoo!知恵袋
1÷0=? - Yahoo!知恵袋
本当に家庭教師
0÷0=?
ψ(プサイ)の興味関心空間劇場版・・・
OKWave 除算の定義?
[考え事]今日の悩み
2÷0の答えは何になるのでしょうか
[教えて!goo] ∞×0なんて答えあったっけ?
1÷0 と 無限大 の定義
http://www-higashi.ist.osaka-u.ac.jp/~k-maeda/nonsense0501_0503.html
分母が0 -OKWave
[教えて!goo] 分母が0
3/26のIQサプリで…
『0』で割る割り算
Yahoo!知恵袋 - 1÷0 はなんですか?
過去モノ
0/1 と 1/0  の違いを数学的に
[教えて!goo] 生徒に質問されて困ってます。
ちょっと変な質問になってしまうかもしれないですが、中
[教えて!goo] 8÷0=
Yahoo!知恵袋 - 電卓で1÷0を押すとE(エラー)で0になります。1
Yahoo!知恵袋 - 「0^0=不定」を、高校1年生に分かり易
Yahoo!知恵袋 - 0で割り算をすることはできない、ということになっていますが
こないだ数学の授業で、「5÷0」 - Yahoo!知恵袋
[教えて!goo] 1÷0の答えを教えて下さい